Ce cours d’approfondissement est ouvert aux étudiants de première année de licence d’économie et de gestion de l’Université Paris Ouest. Il s’adresse a priori aux étudiants les plus à l’aise avec les concepts mathématiques du cycle terminal du lycée.

Nous commencerons par présenter le vocabulaire logique et les modes de raisonnement propres aux mathématiques avant de les mettre en œuvre sur des objets fondamentaux de nature essentiellement arithmétique ou algébrique comme les polynômes et les nombres complexes.

Les constructions et développements théoriques s’accompagneront d’applications à l’étude pratique d’équations polynomiales et de suites récurrentes linéaires, ainsi qu’au calcul de primitives et de dérivées de fonctions rationnelles ou trigonométriques.

Ressources pour le cours

Semaine 1

Démonstration, hypothèse, déduction, implication, équivalence, vocabulaire ensembliste, ensembles usuels de nombres.

En complément : le document Raisonner, rédiger de Christophe Bertault donne une présentation légèrement différente mais surtout beaucoup plus détaillée du contenu des premiers cours.

Semaine 2

Négation d’une assertion, quantificateur universel, quantificateur existentiel, raisonnement par l’absurde.

Semaine 3

Raisonnement par récurrence, exercices sur les quantificateurs, les négations et le raisonnement par l’absurde.

Semaine 4

Équation, solution, existence de solutions, unicité des solutions, résolution des équations du second degré, lapins de Fibonacci.

Semaine 5

Équations de récurrence linéaire, conditions initiales, équation polynomiale associée, nombres complexes.

En complément : le cours de Christophe Bertault sur les nombres complexes. Il commence par une démonstration constructive du théorème d’existence.

Semaine 6

Exercices sur les suites récurrentes linéaires, conjugué et module d’un nombre complexe, racines carrées complexes.

Semaine 7

Contrôle sur la première moitié du cours.

Semaine 8

Calcul de racines carrées et résolution des équations du second degré complexes, lien entre nombre complexes et géométrie du plan.

En complément : chapitres 5 et 6 du film Dimensions de Jos Leys, Étienne Ghys, et Aurélien Alvarez.

Semaine 9

Trigonométrie et écriture exponentielle, arguments d’un nombre complexe, addition des angles, formules d’Euler et de De Moivre.

Semaine 10

Linéarisation de lignes trigonométrique et calculs d’intégrales, anneau des polynômes, degré et coefficients d’un polynôme.

Semaine 11

Division euclidienne de polynômes, substitution et évaluation, racines d’un polynôme, théorème de D’Alembert-Gauss.

Semaine 12

Exercices, multiplicité des racines d’un polynôme, dérivation des polynômes et lien avec les racines multiples.

Sujets de contrôle et d’examen passés

Archive 2013-2014

Archive 2012-2013

Avant 2012

Les archives sont disponibles sur la page de Philippe Soulier.

Pistes bibliographiques

Je vous encourage fortement à rechercher vos propres références pour compléter le cours et vous exercer. De façon générale, les ressources pour les classes prépa ECE/ECS 1re année correspondent assez bien à votre niveau et à votre programme en mathématiques. Dans une certaine mesure, les documents estampillés « mathématiques pour la licence d’économie et de gestion » peuvent aussi convenir.

Il est assez facile de trouver des cours complets et de bonne qualité en accès libre sur l’internet. Voici quelques exemples :

Si vous préférez le papier, voici une liste (non classée) de livres disponibles à la bibliothèque universitaire et dans le commerce :

Il n’existe pas de cours idéal. Celui qui sera le meilleur pour vous sera celui avec lequel vous aurez pris l’habitude de travailler.