Questions de la semaine 5

Julien Bureaux

16 octobre 2014

Lapins après 3 ans

On considère le modèle des lapins de Fibonacci avec \(L(0)=L(1)=1\) et \(\forall m \in \mathbb{N}, \; L(m+2) = L(m+1) + L(m)\).

Combien de lapins aura-t-on au bout de 3 ans ?

Deux-mille quatorze lapins

On considère le modèle des lapins de Fibonacci avec \(L(0)=L(1)=1\) et \(\forall m \in \mathbb{N}, \; L(m+2) = L(m+1) + L(m)\).

À partir de combien de mois a-t-on au moins 2014 lapins ?

Trois puissance n

Lesquelles de ces équations de récurrence sont satisfaites par la suite de terme général \(u_n = 3^n\) ?

Coefficients d’une suite récurrente

On considère la suite \((z_n)\) telle que \(z_0 = 21\), \(z_1 = 27\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, \; 3\, z_{n+2} - 12\, z_{n+1} - 15 \, z_n = 0\).

Déterminez quatre réels \(\lambda,\mu,A,B\) tels que \(\forall n \in \mathbb{N}, \; z_n = A\,\lambda^n + B\, \mu^n\).

Limite d’une suite récurrente

On considère la suite \((x_n)\) définie par \(x_0 = 16\), \(x_1 = 6\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, \; 3\, x_{n+2} - x_{n+1} - \,2 x_n = 0\).

Quelle est la limite de \(x_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?

Condition initiale nulle

On considère la suite \((y_n)\) définie par \(y_0 = y_1 = 0\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, \; 16\, y_{n+2} = 10\, y_{n+1} - y_n\).

Quelle est la valeur de \(y_{2014}\) ?

Identités algébriques

Lesquelles de ces assertions sont vraies dans \(\mathbb{C}\) ?

Partie imaginaire

Quelle est la partie imaginaire de \((1-\mathbf{i})^4\) ?

Partie réelle

Quelle est la partie réelle de \((-1 + \mathbf{i} \sqrt{3})^6\) ?

Conjugué d’un réel

Quel est le conjugué de \(2014\) dans \(\mathbb{C}\) ?