Racines carrées de moins i
Lequel ou lesquels de ces nombres sont-ils des racines carrées de
\(-\mathbf{i}\) ?
- \(1\)
- \(\frac{-1-\mathbf{i}}{\sqrt{2}}\)
- \(-\mathbf{i}\)
- \(\frac{1+\mathbf{i}}{\sqrt{2}}\)
- \(\mathbf{i}\)
- \(1-\mathbf{i}\)
- \(-1\)
- aucun
Complexes admettant une
racine carrée
Lesquels des nombres suivants admettent-ils au moins une racine
carrée dans \(\mathbb{C}\) ?
- \(-2014\)
- \(-\mathbf{i}\)
- \(\sqrt{2}\)
- \(-\sqrt{2014}\)
- \(0\)
- \(-1\)
- \(\pi + 10\mathbf{i}\)
- \((20 + 15\mathbf{i})^{13}\)
- aucun
Vrai ou faux avec racines
carrées
Lesquelles de ces assertions sont-elles justes pour tout \((z,w) \in \mathbb{C}^2\) ?
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(z\) est une racine carrée de \(-w\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(w\) est une racine carrée de \(z\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(\overline{z}\) est une racine carrée de
\(w\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(z\) est une racine carrée de \(\overline{w}\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(-z\) est une racine carrée de \(w\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(-\overline{z}\) est une racine carrée de
\(w\)
- \(z\) est une racine carrée de
\(w\) si et seulement si \(\overline{z}\) est une racine carrée de
\(\overline{w}\)
- aucune
Deux racines carrées
Soient \(z_1,z_2,w_1,w_2\) quatre
nombres complexes tels que :
- \(z_1\) est une racine carrée de
\(w_1\),
- \(z_2\) est une racine carrée de
\(w_2\).
Que peut-on affirmer ?
- si \(z_1 = z_2\), alors \(w_1 = w_2\)
- \(z_1 + z_2\) est racine carrée de
\(w_1 + w_2\)
- \(z_1z_2\) est racine carrée de
\(w_1w_2\)
- si \(w_1 = w_2\), alors \(z_1 = z_2\)
- aucune de ces assertions
Équation du second degré
Soient \(z_1,z_2\) les deux
solutions de l’équation \(z^2 + (3-\mathbf{i})
z + (2 + 11 \mathbf{i}) = 0\) d’inconnue \(z\) dans \(\mathbb{C}\).
Déterminer la valeur de \(|z_1|^2+|z_2|^2\).
Module constant
À quel objet géométrique l’ensemble \(\{z
\in \mathbb{C} : |z| = 1\}\) s’identifie-t-il ?
- un segment
- un point
- un triangle
- un couple de points
- un cercle
- un icosaèdre régulier
- une pyramide
- une droite
Triangle équilatéral
Soit \((ABC)\) un triangle
équilatéral du plan affine euclidien réel identifié à \(\mathbb{C}\). On suppose que \(z_A = -1 + \mathbf{i}\sqrt{3},\, z_B = -1 -
\mathbf{i}\sqrt{3}\) et que \(\Re(z_C)
\geq 0\).
Déterminer la valeur de \(z_C\). (Il
est conseillé de faire un croquis)
Intersection d’un
cercle et d’une demi-droite
En général, l’intersection d’un cercle et d’une demi-droite dans le
plan peut être :
- vide
- un point
- deux points
- trois points
- un ensemble de deux mille quatorze points
- un cercle
- une demi-droite
- un triangle
Droites dans le plan
complexe
Lesquels de ces ensembles de nombres complexes sont-ils représentés
par une droite du plan ?
- l’ensemble \(\{z \in \mathbb{C} : \Re(z) =
0\}\) des imaginaires purs
- l’ensemble des nombres complexes de module égal à 2
- l’ensemble des réels positifs
- l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1
- l’ensemble des nombres complexes \(x+\mathbf{i}y\) tels que \(y - x = 3\)
Éléments absorbants
Soit \(a \in \mathbb{C}\) tel que
pour tout \(z \in \mathbb{C}\), on a
\(a \times z = a\).
Prouver que \(a = 0\).