Questions de la semaine 3

Julien Bureaux

2 octobre 2014

Un peu de calcul

Écrivez le nombre \(\sqrt{\frac{\left(2^{10}\right)^{2014}\times \left(2^{(10^2)}\right)^{(0^{14})}}{\left(\left(2^{10}\right)^{20}\right)^{14}}}\) sous la forme \(2^N\) avec \(N\) un entier.

Somme de carrés facile

Quelle est la valeur de \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 99^2 + 100^2\) ?

Somme de carrés

Quelle est la valeur de \(51^2 + 52^2 + 53^2 + \dots + 99^2 + 100^2\) ?

Intégrité

Comme traduire le théorème un produit de deux réels est nul si et seulement l’un au moins des deux réels est nul ?

Produit d’un rationnel et d’un irrationnel

Combien d’éléments l’ensemble \(\{a \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \mid \exists b \in \mathbb{Q}^*, a\times b \in \mathbb{Q}\}\) possède-t-il ?

Non-identité peu remarquable

Soient \(E = \{0,1,2,3,4,\dots,2014\}\) et \(F = \{(x,y) \in E\times E \mid (x+y)^2 = x^2 + y^2\}\). Combien d’éléments l’ensemble \(F\) possède-t-il ?

Somme d’une constante

Quelle est la valeur de \(\sum_{k=1}^{2014} 210\) ?

Somme impairs

Quelle est la valeur de \(\sum_{k=1}^{2014} (2k-1)\) ?