Un peu de calcul
On considère les deux fonctions réelles \(f,g\) définies pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2\, x + 3\) et \(g(x) = 2\,x^2 + 3\,x -1\). Calculez les
composées \(f(g(x))\) et \(g(f(x))\) puis développez \(f(g(x))-g(f(x))\) sous la forme \(a\, x^4 + b\, x^3 + c\, x^2 + d\, x + e\)
où \(a,b,c,d,e\) sont des éléments de
\(\mathbb{Z}\).
Sélectionnez la ou les assertions équivalentes à \(A \implies B\).
- \(\text{non}(A) \text{ ou }
B\)
- \(\text{non}(B) \implies
\text{non}(A)\)
- \(\text{non}(A) \implies
\text{non}(B)\)
- \(B \text{ ou non}(A)\)
Négation de l’équivalence
Quelle est la négation de \(A \iff
B\) ?
Rappelons que l’équivalence s’exprime en termes d’implications.
- \((A \text{ et non}(B)) \text{ ou } (B
\text{ et non}(A))\)
- \(\text{non}(A) \iff
\text{non}(B)\)
- \((A \implies \text{non}(B)) \text{ ou }
(B \implies \text{non}(A))\)
- \((A \implies \text{non}(B)) \text{ et }
(B \implies \text{non}(A))\)
- \((A \text{ ou non}(B)) \text{ et } (B
\text{ ou non}(A))\)
Racine carrée de 2
Le nombre \(\sqrt{2}\) appartient à
…
- \(\emptyset\)
- \(\mathbb{Z}\)
- \(\mathbb{Q}\)
- \(\mathbb{R}\)
- \(\mathbb{Z} \cup
\{\sqrt{2}\}\)
- \(\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 =
2\}\)
Prouver l’absurde
Supposons que \(a =
\sqrt{1+\sqrt{2}}\) est un nombre rationnel. Le produit de deux
rationnels étant rationnel, on a donc \(a
\times a \in \mathbb{Q}\), c’est à dire \(1+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). On en déduit
par soustraction que \(1+\sqrt{2}-1 \in
\mathbb{Q}\), c’est à dire \(\sqrt{2}
\in \mathbb{Q}\). Mais ceci entre en contradiction avec le fait
que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)
(démontré en cours).
Que peut-on déduire de ce raisonnement ?
- \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\) n’est pas
rationnel
- \(\sqrt{2}\) est rationnel
- \(\sqrt{2}\) n’est pas
rationnel
- \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\) est
rationnel
Quantificateur
existentiel en français
Quelles expressions correspondent à un quantificateur \(\exists\) ?
- pour tout
- quel que soit
- tous
- n’importe quel
- aucun
- chacun
- il existe
- on peut en trouver
- au moins un
Quantificateur universel
en français
Quelles phrases expriment un quantificateur \(\forall\) ?
- Tous les chats sont gris.
- Quel que soit le pays, c’est interdit.
- Un multiple de 2014 est toujours un nombre pair.
- Personne ne le comprend.
- Il existe un mammifère qui pond des œufs !
- Au moins une de ces réponses est fausse.
- Certaines voitures ont des roues.
- Ils ne sont pas tous attentifs…
Injectivité fonction carré
Sélectionnez le ou les énoncés justes.
- \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in
\mathbb{R}, (x^2 = y^2 \implies x =y)\)
- \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in
\mathbb{R}, (x = y \implies x^2 =y^2)\)
- \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in
\mathbb{R}, (x^2 = y^2 \text{ et } x \neq y)\)
- \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in
\mathbb{R}, (x = y \text{ et } x^2 \neq y^2)\)
Surjectivité de la fonction
carré
Sélectionnez la ou les assertions justes.
- \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in
\mathbb{R}, y = x^2\)
- \(\forall y \in \mathbb{R}_+, \exists x
\in \mathbb{R}, y = x^2\)
- \(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in
\mathbb{R}, y = x^2\)
- \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in
\mathbb{R}, y = x^2\)
Négation des quantificateurs
Quelle est la négation de \(\exists f,
\forall F, (F \subset E \implies (\exists x \in E, f(x) = F))\)
?
- \(\forall f, \exists F, (F \subset E
\text{ et } (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
- \(\forall f, \exists F, (F \not\subset E
\text{ et } (\forall x \notin E, f(x) \neq F))\)
- \(\forall f, \exists F, (F \not\subset E
\implies (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
- \(\exists f, \forall F, ((\forall x \notin
E, f(x) \neq F) \implies F \not\subset E)\)
- \(\exists f, \forall F, (F \subset E
\text{ et } (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
- \(\exists f, \forall F, (F \subset E
\implies (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)