Questions de la semaine 1

Un peu de calcul

Si on écrit le nombre \(\displaystyle\frac{\sqrt{\frac{15}{2}+\frac{10}{3}}\times\sqrt{\frac{15}{2}-\frac{10}{3}}}{\left(\sqrt{\frac{25}{2}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\times\left(\sqrt{\frac{25}{2}}-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)}\) sous la forme \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) où \(a\) et \(b\) sont les entiers naturels les plus petits possible, que vaut \(a + b\) ?

Symboles ensemblistes

Auquel des symboles \(\cup\), \(\in\), \(\times\), \(\emptyset\), \(\subset\), \(\cap\), \(\setminus\) correspond chacune des notions ensemblistes suivantes ?

• Appartenance, « est un élément de »
• Intersection
• Produit (cartésien)
• Union, réunion
• Ensemble vide
• Différence, « privé de »
• Inclusion, « est un sous-ensemble de »

Sous-ensemble vide

Dans lesquels de ces ensembles \(\emptyset\) est-il inclus ?

• \(\emptyset\)
• \(\{\emptyset\}\)
• \(\{-1,1\}\)
• \(\mathbb{N}\)
• \(\mathbb{Q}\)

Cardinal d’une union

Combien d’éléments l’ensemble \(\{\frac{1}{7},0, \pi, \sqrt{2},12\} \cup \{\sqrt{2},42,-1,0\}\) possède-t-il ?

Cardinal d’une intersection

Combien d’éléments l’ensemble \(\{\frac{1}{7},0, \pi, \sqrt{2},12\} \cap \{\sqrt{2},42,-1,0\}\) possède-t-il ?

Cardinal d’une différence

Combien d’éléments l’ensemble \(\{\frac{1}{7},0, \pi, \sqrt{2},12\} \setminus \{\sqrt{2},42,-1,0\}\) possède-t-il ?

Cardinal d’un produit cartésien

Combien d’éléments l’ensemble \(\{\frac{1}{7},0, \pi, \sqrt{2},12\} \times \{\sqrt{2},42,-1,0\}\) possède-t-il ?

Ensemble défini par compréhension

Soit \(E = \{-2,-1,0,1,2,3\}\).Combien d’éléments l’ensemble \(\{x \in E \mid x \leq 0\}\) possède-t-il ?

Ensemble des solutions d’une équation

Combien d’éléments l’ensemble \(\{a \in \mathbb{R} \mid (9a - 18)^2 = -2014\}\) possède-t-il ?

Démonstration

Soit \(n\) un entier. Remettez dans l’ordre la démonstration suivante :

• Donc \(n = 5 \times (2k)\).
• Par définition, \(n\) est donc un multiple de \(5\).
• On suppose que \(n\) est un multiple de \(10\).
• Par définition, tout multiple de \(10\) est de la forme \(10k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
• Il existe donc \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n = 10k\).
• Donc \(n\) est de la forme \(n = 5 k'\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\).

Implications

Soient \(x,y,z\) des réels. On fait les hypothèses suivantes :

• Si \(x^2 = 5\), alors \(y \geq 10\).
• Si \(y \geq 10\), alors \(z = 1\).
• \(y = 3\).

Lesquelles de ces assertions peut-on en déduire ?

• \(x^2 \neq 5\)
• Si \(x^2 = 5\), alors \(z = 1\)
• \(z \neq 1\)
• \(x^2 = 5\) équivaut à \(z = 1\)
• \(z = 1\)

Prouver une implication

Soit \(n\) un entier naturel.

On suppose que \(n\) est un multiple de \(10\). Par définition, tout multiple de \(10\) est de la forme \(10k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Donc on peut trouver \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n = 10k\). Alors \(n = 5 \times (2k)\). Donc \(n\) est de la forme \(n = 5 k'\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\). Par définition, \(n\) est donc un multiple de \(5\).

De quelle assertion le texte ci-dessus donne-t-il une démonstration ?

• Si \(n\) est un multiple de \(5\), alors \(n\) est un multiple de \(10\).
• Si \(n\) est un multiple de \(10\), alors \(n\) est un multiple de \(5\).
• \(n\) est un multiple de \(10\) si et seulement si \(n\) est un multiple de \(5\).
• \(n\) est un multiple de \(5\).
• \(n\) est un multiple de \(10\).
• \(n\) est un multiple de \(5\) et \(n\) est un multiple de \(10\).
• \(n\) est un multiple de \(5\) ou \(n\) est un multiple de \(10\).
• \(n\) n’est pas un multiple de \(5\).