On appelle linéaire tout ce qui concerne les espaces vectoriels et les morphismes entre ces derniers – aussi appelés applications linéaires. (En dimension 1, toute application linéaire est une homothétie, dont le graphe est une droite, d'où la terminologie linéaire.) En dimension finie, l'on dispose d'un modèle combinatoire des applications linéaires : les matrices. Ces dernières formant une structure d'algèbre, on parle naturellement d'algèbre matricielle et (par extension) d'algèbre linéaire.
En dimension 2, considérer un triangle comme la moitié d'un parallélogramme permet de voir l'intervention de l'algèbre linéaire dans les problèmes de géométrie classique. Les notions d'aire et de volume permettent ainsi de fonder l'intuition pour développer l'outil déterminantal. On observera par ailleurs qu'un triangle peut se voir comme moitié de trois parallélogrammes différents, ce qui annonce la richesse du groupe linéaire en dimension >1.
Un ensemble fini E de cardinal n est entièrement déterminé par le choix de n éléments distincts de E et il n'y a qu'un seul tel choix possible (à ordre près). De même, un espace vectoriel E de dimension n est entièrement déterminé par le choix de n éléments libres de E, mais il n'y a plus unicité du choix précédent (sauf cas trivial, même à ordre près). Ces différents choix donnent autant de représentations matricielles des applications linéaires, faisant entrevoir la complexité de l'automorphie des espaces vectoriel (c'est-à-dire la richesse des groupes linéaires) comparée à celle des ensembles finis (décrite par les groupes symétriques), ce qui mène aux questions de réduction.
Un espace vectoriel E sur un corps K s'identifie canoniquement à l'ensemble L(K,E) des applications linéaires de K vers E. Il est légitime de se demander ce qu'il advient en reversant l'ordre de ces flèches, c'est-à-dire en considérant l'espace L(E,K) des formes linéaires sur E, aussi appelé dual de E. Lorsque E est euclidien, les deux espaces sont canoniquement identifiés via l'application a ↦ (a|*), mais cela n'est plus vrai en général. On obtient ainsi (en dimension finie) deux espaces duaux, tels nos mains droite et gauche qui, pour autant ressemblantes soient-elles, ne sont pas superposables. Cette dualité échange noyaux et images, droites et hyperplans et s'exprime matriciellement par une transposition, ce qui fournit autant d'outils pour traiter les questions d'algèbre linéaire.
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