cours mathématiques
Voici quelques textes mathématiques, à visée purement pédagogique.
N'hésitez pas à me communiquer (par mail) vos éventuelles questions ou critiques constructives.
Ici un lien pour les amoureux des courbes et surfaces, particulièrement
remarquable par ses inombrables illustrations et animations. Qui veut voir le retournement de la sphère ?
Qui veut comprendre comment construire une bouteille de
Klein à l'aide de deux rubans de
Möbius ?
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introduction au jeu de preuve
(14 mai 2022)
Suite aux questions récurrentes d'étudiante·s sur les sempiternels thèmes affleurant la démonstration
(généralement laissées par les enseignante·s à l'apprentissage sur le tas,
faute de temps pour traiter convenablement ces sujets
dont la portée épistémique est fondamentale),
nous sommes intervenus avec un collègue Jean-Christophe
Jameux pendant trois heures pour proposer une
histoire de la démonstration ainsi qu'une grammaire possible de la langue mathématique en prépa,
avec plusieurs exemples concentrant les principaux écueils.
Nous espérons que ces outils puissent aider à structurer la pensée de nos étudiant·es
et leur apporter sur les prétentions de la mathématiqueune une réflexion épistémologique saine.
Dans le même esprit, signalons le
petit manuel de bonne rédaction de Christophe Bertault,
dont on gagnera également à lire le chapitre
Raisonner, rédiger à la lumière de notre jeu de preuve.
- (TIPE) graphes plongés & intégration matricielle : une
correspondance inattendue
(17 mars 2004)
En rangeant des cartons (merci coco 2020), j'ai retrouvé le manuscrit de mon TIPE,
présenté au séminaire des élèves du Lycée Louis-le-Grand pendant ma 2e année de prépa.
Un pont jeté entre combinatoire visuelle très intuitive (découpage de dougnuts & fougasses) et intégration
de traces polynomiales de matrices hermitiennes (un peu plus taupinal). Le seul travail mathématique qui m'ait jamais passionné
("quand on a dix-huit ans..."), auquel je dois à Dimitri
Zvonkine de m'y avoir initié début
juillet 2002 (à quelques jours près sortait Le voyage de Chihiro)
rue Notre-Dame-des-Champs (le cinéma l'Arlequin n'était pas loin)
en compagnie de l'équipe française aux IMOs.
Deux avertissements :
1) les nombreuses figures colorées ayant pesé lourd au scan, le pdf résultant dépasse les 20Mo ;
2) ce travail a été à l'époque tapé avec un module de Word qui ne saurait
en aucun cas remplacer LaTex (hint : les signes de sommation).
La plupart des cours qui suivent se veulent accessibles dès la première année de classe préparatoire.
J'encourage donc vivement les taupins courageux qui souhaiteraient compléter leur cours
ou découvrir de nouvelles choses à jeter un œil à ce qui suit.
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introduction aux espaces quotients
(7 février 2005)
On présente l'un des concepts fondamentaux de l'algèbre :
le quotientage des structures algébriques (groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres).
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polynômes à une nombre quelconque d'intérminées
(29 octobre 2005, màj mars 18)
Pour ne plus se poser de questions bridantes sur Qu'est-ce qu'un polynôme ?
ou Qu'ai-je le droit de faire avec ? Combinés aux quotients, les polynômes permettent
de multiplier et diviser les unités des physiciens en laissant à ces derniers la question du sens des
unités ainsi créées.
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familles sommables
(18 novembre 2004)
Pour ne plus se poser de questions métaphysiques sur ce qu'est une somme sur de gros ensembles (typiquement infinis),
et pour clarifier les bidouilles autorisées avec les signes Σ.
Suivent quelques applications : exponentielle, fonctions analytiques...
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dualité en dimension finie
(24 octobre 2005)
Un exposé de la théorie de la dualité en dimension finie,
dont le point de vue central est l'identification d'un espace vectoriel à son bidual.
Sont abordés en vrac : bases duale et préduale, bidual et chevron de dualité,
orthogonalité, applications transposées...
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invariants de similitude et réduction de
Frobenius
(21 octobre 2005)
On étudie ici les endomorphismes semblables à des matrices compagnons (dits cycliques)
ainsi qu'une description originale des classes de similitude en termes de polynômes minimaux.
Quelques applications suivent : réduction de
Jordan (en facile), similitude et extensons de corps,
caractérisation des endomorphismes cycliques à l'aide de leur commutant, rang et degré du polynôme minimal.
Très largement inspiré de l'annexe B du
Gourdon d'algèbre.
Nécessite déjà de bonnes bases en réduction ainsi que quelques notions d'ortogonalité duale
(cf. cours précédent).
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quatre démonstrations du théorème de
Cayley-Hamilton
(25 octobre 2005, màj mars 18)
Comme l'indique le titre...
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inversions
(7 octobre 2005)
Une brève présentation de l'inversion dans le plan complexe,
suivie de deux applications (dont le cas d'égalité de
Ptolémée).
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une identité classique sur le polynôme caractéristique
(25 octobre 2005)
Nous savons tous, en notant χ(M) le polynôme caractéristique d'une matrice M, que χ(AB)=χ(BA).
Mais sommes-nous autant à l'aise quand il s'agit de le démontrer ?
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dérivations de
Kähler
(29 avril 2009)
On se demande ici à quel point la formule de la dérivée d'un produit caractérise la dérivation
usuelle des applications dérivables et en particulier si l'on peut prolonger cette dernière
sur les applications seulement continues. L'angle d'attaque est purement algébrique.
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rétrospective axiomatique sur les produits scalaires
(15 septembre 2010)
Lorsque l'on s'intéresse aux produits à valeurs scalaires, on est amené à dériver à partir d'axiomes de
"non-dégénérescence" ou de "caractère défini positif" des inégalités
(Buniakowski-Cauchy-Schwarz et Minkowsky
pour ne citer que les plus célèbres) ainsi que des cas d'égalités. On peut se
demander dans quelle mesure ces (cas d')égalités caractérisent en retour les propriétés du produit
à valeurs scalaires utilisé. Le résultat est plutôt satisfaisant.
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invariants dans l'algèbre d'un monoïde
(26 janvier 2012)
Savez-vous ce que sont un groupe et un espace vectoriel ? Connaissez-vous les caractérisations d'un
projecteur ? Alors bienvenu dans ce modeste texte dont nous espérons qu'il permettra à son lecteur
d'apercevoir la variété de la faune mathématique que sa simple machette linéaire lui rendra accessible.
Je remercie Jérôme
Dégot
de m'avoir permis d'intervenir deux heures dans sa HX3
à la Toussiure pendant qu'il profitait des pistes enneigées.
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réels, polynômes & achêvements
(janvier 2018) (V quasi-achevée)
Une construction possible des réels avec des idées algébriques et peu usuelles.
Voici à présent différentes notes du cours d'algèbre 2 de Marc
Rosso que j'ai suivi en 2005.
J'ai passé beaucoup de temps à les reprendre dans le détails,
à remanier le plan du cours lorsque je croyais améliorer la clarté d'exposition,
et à détailler les démonstrations.
À l'exception d'un paragraphe sur la résolubilité du groupe de
Galois et d'une partie sur les représentations d'algèbres,
ces notes devraient pouvoir fournir un solide outil de travail pour assimiler l'excellent
(mais rapide...) cours de Marc Rosso.
Les quelques points de détails que je n'ai pas encore eu le temps de reprendre sont indiqués par des "???",
afin de signaler au lecteur qu'il ne faut s'attarder sur ces passages où résident encore pour moi des points obscurs.
Voici enfin des notes (largement) étendues prises lors d'une introduction
à la géométrie algébrique dispensée par Yves Laszlo à la
rentrée 2006.
Plutôt que de les laisser au placard, je préfère en faire profiter qui voudra.
Comme d'habitude, les points obscurs sont indiqués entre "???".
Ces derniers se concentrent dans les exercices, certains étant à l'origine des questions
ouvertes que je n'ai pas toujours su explorer en profondeur.
Si vous êtes tombés ici par hasard, vous pouvez
remonter l'arbre de ce site jusqu'à ma page d'accueil ;
peut-être trouverez-vous autre chose qui vous intéressera.