Aurel Page

Articles

[4] Group representations in the homology of 3-manifolds, avec Alex Bartel, prépublication. [ arXiv | PDF (anglais) ]

Lorsque M est une variété munie d'une action d'un groupe G, le groupe d'homologie H_1(M,Q) est naturellement un Q[G]-module, où Q[G] désigne l'anneau de groupe rationnel. Nous prouvons que pour tout groupe fini G et pour tout Q[G]-module V, il existe une 3-variété fermée hyperbolique munie d'une action libre de G telle que le Q[G]-module H_1(M,Q) est isomorphe à V. Nous donnons une application à la géométrie spectrale: pour tout ensemble fini P de nombres premiers, il existe des 3-variétés hyperboliques N et N' qui sont fortement isospectrales mais telles que pour tout p dans P, les sous-groupes p-primaires de la torsion dans H_1(N,Q) et H_1(N',Q) sont d'ordre différents. Nous montrons également que, dans un certain sens précis, l'homologie rationnelle des 3-variétés riemanniennes orientées munies d'une G-action ne "sait" rien sur la structure des points fixes sous G, au contraire du cas de la dimension 2. Les principales techniques géométriques sont la chirurgie de Dehn et, pour l'application spectrale, la formule de Cheeger-Mueller, mais nous utilisons également des outils de différentes branches de l'algèbre, notamment les constantes de régulateurs, un outil de théorie des représentations qui a été développé à l'origine dans le contexte des courbes elliptiques.

[3] Torsion homology and regulators of isospectral manifolds, avec Alex Bartel, accepté à J. Topol. [ DOI | arXiv | PDF (anglais) | données ]

Étant donné un groupe fini G, un G-revêtement de variétés riemanniennes fermées, et une « G-relation », une construction de Sunada produit deux variétés M_1, M_2 fortement isospectrales. De telles variétés ont la même dimension et le même volume, et leurs groupes d'homologie sur Q sont isomorphes. Dans cet article, nous nous intéressons à la relation entre leurs groupes d'homologie sur Z. Le théorème de Cheeger-Mueller implique qu'un certain produit d'ordres de torsion dans l'homologie et de régulateurs doit être identique pour M_1 et M_2. Nous exhibons un lien entre la torsion dans l'homologie de M_1 et M_2 d'une part, et la structure de G-module de l'homologie sur Z de la variété revêtant M_1 et M_2 d'autre part, en interprétant les quotients Reg_i(M_1)/Reg_i(M_2) en termes de théorie des représentations. De plus, nous prouvons que la torsion p-primaire dans l'homologie de M_1 est isomorphe à celle de M_2 pour tout p ne divisant pas #G. Pour tout nombre premier p ≤ 71, nous produisons un exemple de paire de 3-variétés arithmétiques hyperboliques fortement isospectrales pour lesquelles la p-torsion dans l'homologie diffère.

[2] An algorithm for the principal ideal problem in indefinite quaternion algebras, LMS J. Comput. Math. (ANTS XI). [ DOI | MathSciNet | HAL | arXiv | PDF (anglais) ]

Dans un corps de nombres, le problème de l'idéal principal consiste à décider si un idéal est principal, et le cas échéant à en trouver un générateur. Ce problème possède de nombreuses applications en théorie algorithmique des nombres. Dans une algèbre de quaternions indéfinie, le problème de décision se ramène au même problème dans le corps de base. Trouver un générateur est difficile, et je présente un algorithme sous-exponentiel pour cette tâche.

[1] Computing arithmetic Kleinian groups, Math. Comp. [ DOI | MathSciNet | HAL | arXiv | PDF (anglais) ]

Un groupe kleinéen arithmétique est un réseau arithmétique de PSL_2(C). Je présente un algorithme qui, étant donné un tel groupe Γ, calcule un domaine fondamental et une présentation finie pour Γ avec un isomorphisme calculable. C'est une amélioration de l'algorithme de mon Master. Le paquet Magma est disponible ici.


Mémoires

Doctorat

Méthodes explicites pour les groupes arithmétiques. [ mémoire (anglais) ]
Thèse réalisée sous la direction de Karim Belabas et Andreas Enge. Voici le résumé de la thèse.

Master

Computing fundamental domains for arithmetic Kleinian groups. [ HAL | mémoire (anglais) | soutenance (anglais) ]
Un mémoire réalisé sous la direction de John Voight.

Introduction au domaine de recherche

L'équation de Pell-Fermat non commutative. [ texte | présentation ]


Exposés

Computing good covers of compact arithmetic manifolds, au King's College de Londres le 8/09/2016, à l'atelier Automorphic forms: theory and computation. [ slides (anglais) ]

Torsion homology of hyperbolic 3-manifolds in Jacquet-Langlands pairs and isospectral pairs, à l'Université du Luxembourg le 12/07/2016, à l'atelier Bianchi Modularity. [ slides (anglais) ]

Torsion in the homology of isospectral manifolds, à l'AUB (Beirut, Liban) le 27/04/2016. [ slides (anglais) ]

Torsion dans l'homologie et régulateurs de variétés isospectrales, à l'IMJ (Paris) le 10/02/2016. [ slides ]

Torsion dans l'homologie des groupes kleinéens arithmétiques, à l'IRMAR (Rennes) le 11/12/2015, au Séminaire de géométrie et algèbre effective. [ slides ]

Torsion homology of arithmetic Kleinian groups, au Amherst College (Massachusetts, États-Unis) le 17/11/2015, au Five College Number Theory Seminar. [ slides (anglais) ]

Isospectrality, regulators and special value formulas, à Brown University, Providence (Rhode Island, États-Unis) le 16/11/2015, à l'ICERM peer-to-peer seminar. [ slides (anglais) ]

Aspects algorithmiques des groupes d'unités, à Luminy le 19/03/2015, au séminaire ATI. [ slides ]

Tutorial: associative and central simple algebra, à l'IMB (Bordeaux) le 13/01/2015, atelier PARI/GP 2015. [ script gp (mis à jour) ]

Calcul de formes modulaires de Klein, à Clermont-Ferrand le 9/12/2014, au groupe de travail de théorie des nombres. [ slides ]

Computing Klein modular forms, à Bristol le 12/11/2014, au séminaire Heilbronn. [ slides (anglais) ]

Computing Klein modular forms, à Warwick le 13/10/2014, au séminaire de théorie des nombres. [ slides (anglais) ]

Computing Klein modular forms, à Sheffield le 15/09/2014, au séminaire WANDS. [ slides (anglais) ]

An algorithm for the principal ideal problem in indefinite quaternion algebras à GyeongJu (Corée) le 11/08/2014, Algorithmic Number Theory Symposium XI. [ slides (anglais) ]

Computing Klein modular forms, à l'Université Paris 13 le 24/07/2014, Workshop on Analytic Number Theory and Geometry. [ slides (anglais) ]

Computing Kleinian modular forms, à l'University of Warwick (Coventry) le 4/06/2014, LMFDB Workshop. [ slides (anglais) ]

The principal ideal problem in quaternion algebras, au CIRM (Luminy) le 11/03/2014, rencontres Théorie des nombres et applications. [ slides (anglais) ]

Central simple algebras for PARI, au LMB (Besançon) le 7/01/2014, atelier PARI/GP 2014.

Groupes kleinéens arithmétiques et formes automorphes pour GL(2), à l'IRMAR (Rennes) le 3/12/2013, réunion d'avancement de l'ANR Peace. [ slides | Bianchi -14 | Bianchi -223 | quartique -275 (ouvrir avec geomview) ]

Computing Kleinian modular forms, au LMB (Besançon) le 24/09/2013, conférence Méthodes algébriques et explicites en théorie des nombres. [ slides (anglais) ]

Le théorème de Pólya, à l'IMB (Bordeaux) le 29/05/2013, journée TNT des doctorants en théorie des nombres. [ texte sur le même sujet ]

Calcul explicite de formes automorphes, aux Grands Moulins (Paris) le 7/02/2013, séminaire des thésards de l'IMJ. [ slides ]

La correspondance de Jacquet-Langlands, à l'IMB (Bordeaux) le 23/10/2012, journée TNT des doctorants en théorie des nombres.

Cryptologie ? (avec Nicolas Mascot), à l'IMB (Bordeaux) le 9/10/2012, Fête de la Science.

Algorithms for arithmetic Kleinian groups, au BIRS (Banff, Canada) le 5/07/2012, atelier Torsion in the homology of arithmetic groups : geometry, arithmetic, and computation. [ video (anglais) ]

Calcul de groupes kleinéens arithmétiques, à l'IRMAR (Rennes) le 4/05/2012, séminaire de cryptographie.

L'équation de Pell-Fermat non-commutative, à l'IMB (Bordeaux) le 20/03/2012, séminaire des doctorants de théorie des nombres.

Quaternion algebras, à l'IMB (Bordeaux) le 27/01/2012, atelier PARI/GP 2012.

Algorithms for arithmetic Kleinian groups, à l'Universität Heidelberg (Allemagne) le 6/09/2011, conférence Computations with Modular Forms 2011. [ slides (anglais) ]

Calculs de domaines fondamentaux de groupes arithmétiques, à l'IMB (Bordeaux) le 8/12/2010, groupe de travail AlgoL. [ partie I | partie II ]

Valid XHTML 1.0 Strict