Je présente sur cette page mes quelques productions mathématiques, principalement rédigées à l'occasion de mes diverses échéances scolaires : TIPE en prépa, mémoires de M1 et M2.
Sous ce titre kilométrique se cache mon mémoire de M2, rédigé sous la direction de Régis de la Bretèche. Comme le titre peut l'indiquer aux familiers du jargon mathématique, il s'agit de théorie analytique des nombres. La fonction de répartition des entiers friables (c'est-à-dire ayant de «petits» facteurs premiers) fait l'objet d'une littérature assez complète. Si des arguments heuristiques permettent de conjecturer qu'ils sont équirépartis dans les progressions arithmétiques, on dispose pour le moment de peu de résultats prouvés. L'objet du mémoire est la démonstration de deux théorèmes d'équirépartition des entiers friables dans les progressions arithmétiques, à l'aide de méthodes analytiques, certaines - dont les objets centraux sont les fonctions L et leurs régions sans zéros - remontant au XIX° siècle et à la démonstration du théorème des nombres premiers par Hadamard et de la Vallée Poussin, d'autres - autour de la notion de «distance» entre fonctions multiplicatives - ayant été développées dans la dernière décennie.
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J'ai rédigé en LaTeX la première moitié du cours de théorie algébrique des nombres de Guy Henniart, que j'ai suivi en 2006-2007 à l'université d'Orsay. L'objectif de ce cours est la théorie du corps de classes, les notes présentent une partie du fond théorique nécessaire pour y aboutir : extensions de corps de nombres, anneaux de Dedekind, valeurs absolues archimédiennes et ultramétriques, théorie de Galois, idèles, adèles, ...
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Mon mémoire de M1, rédigé en collaboration avec Lucas Mercier, est consacré à un problème de probabilités : celui de la percolation. Il s'agit d'enlever (aléatoirement et indépendamment) des arêtes à un graphe, et de déterminer les propriétés du graphe ainsi percolé. Ici, les graphes étudiés sont les hypercubes (déterminés par leur dimension n), munis de leur métrique naturelle (la distance entre deux points est le nombre d'arêtes à parcourir pour les relier). On étudie comment la percolation déforme cette métrique, les résultat démontrés portent sur la distorsion asymptotique de la métrique quand la dimension de l'hypercube percolé tend vers l'infini. On observe, pour un bon choix de la probabilité de percolation en fonction de la dimension (la probabilité comme puissance de la dimension), une transition de phase selon la valeur de l'exposant choisi : d'un côté, distorsion bornée, de l'autre, distorsion tendant vers l'infini.
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Pour mon TIPE, réalisé en collaboration avec Sébastien Bubeck, j'ai étudié la construction des ondelettes de Daubechies. Le principe de l'analyse en ondelettes est la construction d'une base hilbertienne (généralisation en dimension infinie du principe de base orthonormée) de l'espace des fonctions de carré intégrable vérifiant des propriétés d'invariance par translation et dilatation. Une telle base est ainsi adaptée à l'étude de signaux ayant des propriétés d'auto-similitude. Les ondelettes construites par Ingrid Daubechies ont la propriété remarquable d'être à support compact, propriété fort intéressante pour une utilisation informatique. La version disponible ici a été remaniée et s'affranchit de quelques-unes des contraintes (notamment de taille) de l'épreuve des concours de l'ENS.