Jérémie Bettinelli École polytechnique Laboratoire d'informatique (LIX) 91128 Palaiseau Cedex FRANCE E-mail : prenom « . » nom « at » normalesup « . » org Bureau : 2023 Téléphone : (+33) (0)1 77 57 80 61

Sorry, no English version

Dans cette section, nous donnons la définition des polyèdres semi-réguliers. Ils contiennent les polyèdres réguliers, les prismes, les antiprismes, et les polyèdres archimédiens. Ces derniers sont au nombre de 13 à isométrie près, ou 15 à rotation près (on en reparlera dans la section des polyèdres d'ordre 5).

Définitions

Formellement, un polyèdre est semi-régulier si l'action de son groupe d'isométries sur ses sommets est transitive, c'est-à-dire que, si l'on choisit deux sommets, il existe une isométrie qui envoie le premier sur le second.

Comme dans le cas des polyèdres réguliers, on montre que, nécessairement, les faces sont des polygones réguliers (non nécessairement tous identiques), les sommets sont tous de même degré, et de même type, en ce sens qu'ils sont incident aux mêmes polygones (par exemple toujours à un carré, un héxagone, et un octogone).

À partir de maintenant, la terminologie que j'utilise n'est pas forcément classique, mais elle est très pratique. On notera (a₁, a₂,..., a_r) les degrés des polygones auquel chaque sommet est incident, listés en tournant autour du sommet. On identifiera les r-uplets obtenus par permutation circulaire (cela correspond à choisir arbitrairement le polygone qu'on liste en premier), ou lu « à l'envers » (cela correspond à faire une symétrie plane au polyèdre, c'est-à-dire à le regarder dans un mirroir).

Si, comme dans l'exemple précédent, tout sommet est incident (exactement) à un carré, un héxagone, et un octogone, on notera le polyèdre (4,6,8) (ou (6,8,4), (8,4,6), (8,6,4), (4,8,6) ou encore (6,4,8)). En pratique, parmi toutes les possibilités, on préférera le premier dans l'ordre lexicographique, à savoir (4,6,8) sur cet exemple. Compte tenu de la remarque précedente, ce r-uplet caractèrise le polyèdre. En premier exemple, on peut ainsi coder les polyèdres réguliers (qui sont bien sûr semi-réguliers) comme ceci :

Pour inventorier les polyèdres semi-réguliers, on s'arête bien sûr dès que la somme des angles dépasse 360°, comme on l'a fait précédemment. On appellera ordre du polyèdre l'entier r. Notons que r ≥ 3 pour que l'on ait bien un polyèdre. Par ailleurs, les faces étant régulières, elles ont toutes des angles supérieurs ou égal à 60°. En conséquence, on obtient que 60 r < 360 et donc r ≤ 5. On peut maintenant passer à la classification des polyèdres semi-réguliers selon leur ordre, qui peut valoir 3, 4, ou 5.