Jérémie Bettinelli
École polytechniqueLaboratoire d'informatique (LIX)
91128 Palaiseau Cedex
FRANCE
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Polyèdres semi-réguliers d'ordre 3 |
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Commençons par l'ordre 3. Les polyèdres seront donc du type (a, b, c) où a, b, c, sont des entiers supérieurs à 3. Si b ≠ c, il faut une alternace de b-gones et de c-gones autour du a-gone, et donc a doit être pair. Autrement dit, si a est impair, alors b＝c.
En échangeant les rôles, dès qu'un nombre est impair, les deux autres sont égaux. En particulier, si deux nombres sont impair, par exemple a et b, alors b＝c et, de même, a＝c, et donc a＝b＝c. Ainsi, on retrouve trois polyèdres réguliers, le tétraèdre (3,3,3), le cube (4,4,4), et le dodécaèdre (5,5,5).
Outre ce cas, on a soit un nombre impair et deux nombres pairs égaux, soit trois nombres pairs. Remarquons tout d'abord que l'on obtient une famille infinie, la famille des prismes (4,4, n), où n ≥ 3, dont le cube fait partie.
On trouve sept autres polyèdres, le tétraèdre tronqué (3,6,6), le cube tronqué (3,8,8), le dodécaèdre tronqué (3,10,10), l'octaèdre tronqué (4,6,6), le cuboctaèdre tronqué (4,6,8), l'icosidodécaèdre tronqué (4,6,10), et l'icosaèdre tronqué (5,6,6).
La terminologie est relativement simple car on obtient les cinq polyèdres réguliers tronqués, ainsi que deux autres polyèdres qui, malgré leurs noms, ne sont en fait pas les troncatures du cuboctaèdre et de l'icosidodécaèdre que nous rencontrerons plus tard ; nous reviendrons là-dessus. Sur certaines photos, le polyèdre a été complété de façon à ce que l'on voit le polyèdre dont il est la troncature.
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Sur la photo du milieu, le tétraèdre a été complété.
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Sur les deux dernières photos, le cube a été complété.
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Sur les deux dernières photos, le dodécaèdre a été partiellement complété.
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Sur les deux dernières photos, l'octaèdre a été complété.
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Le cuboctaèdre est défini à la page suivante, car il est d'ordre 4. Attention toutefois à la terminologie ; il ne s'agit en fait pas exactement de la troncature d'un cuboctaèdre. Comparez avec les photos suivantes de la troncature du cuboctaèdre (deux premières), ainsi que du cuboctaèdre completé (deux dernières). On remarque que les carrés précédents sont remplacés par des rectangles...
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L'icosidodécaèdre est défini à la page suivante, car il est d'ordre 4. Là encore, attention à la terminologie, ce n'est pas réellement la troncature de l'icosidodécaèdre.
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C'est le polyèdre bien connu sous le nom de ballon de foot ! On peut voir sur les trois dernières photos l'icosaèdre dont il est la troncature.
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