Jérémie Bettinelli
École polytechniqueLaboratoire d'informatique (LIX)
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FRANCE
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Polyèdres réguliers |
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Commençons par les cinq polyèdres réguliers, également appelés polyèdres platoniciens.
La définition formelle est la suivante : un polyèdre est dit régulier si l'action de son groupe d'isométries sur ses drapeaux est simplement transitive. Précisons ce que cela signifie. Déjà, un drapeau est un triplet de la forme (sommet, arête, face), où le sommet est l'une des extrémités de l'arête, et l'arête borde la face, comme sur la figure ci-contre. Ensuite, si on se fixe deux drapeaux, il existe une unique isométrie qui envoie le premier sur le second.
Une façon imagée de voir les choses consiste à imaginer le polyèdre ainsi qu'un moule du polyèdre. Si on choisit une face et une arête (de la face) sur le polyèdre et de même dans le moule, alors il est possible de faire rentrer le polyèdre dans le moule, sans le déformer, de façon à ce que les arêtes et faces choisies coïncident. Pour que l'opération fonctionne avec les drapeaux, il faut de plus avoir le droit de « retourner » le polyèdre, comme si on le regardait dans un miroir, à cause des isométries négatives.
Rappelons que le degré d'un sommet est le nombre de faces auquels il est incident, et le degré d'une face est son nombre de côtés.
Il est alors assez simple de voir qu'il n'existe que cinq tels polyèdres. En effet, toutes les faces sont identiques : on en choisit deux, et arbitrairement deux arêtes et deux sommets pour former deux drapeaux, il existe alors un isométrie qui transforme le premier drapeau en le second, et en particulier la première face en la seconde.
Ensuite, les faces sont régulières : on en choisit une, on prend deux arêtes quelconques de cette face, et enfin une extrémité par arête (éventuellement la même si les arêtes sont adjacentes), il existe alors une isométrie (positive ou négative suivant les extrémités choisies) qui envoie la première arête sur la seconde. Les arêtes choisies étant quelconques, les faces sont bien régulières.
De la même façon, on voit que les sommets sont tous de même degré.
Par ailleurs, la somme des angles des faces incidentes à un sommet donné doit être strictement inférieure à 360°. Il n'y a donc pas beaucoup de choix : il faut faire strictement moins que 3 faces de degré 6 ou 6 faces de degré 3, qui donnent la figure plane ci-contre. Les faces sont donc des triangles équilatéraux, des carrés, ou des pentagones réguliers.
Si les faces sont des triangles, les sommets peuvent être de degré 3, donnant le tétraèdre, de degré 4, donnant l'octaèdre, ou de degré 5, donnant l'icosaèdre. Si les faces sont des carrés, les sommets sont nécessairement de degré 3, on obtient le cube. Enfin, si les faces sont des pentagones, les sommets sont aussi de degré 3, et on a le dodécaèdre.
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