Jérémie Bettinelli École polytechnique Laboratoire d'informatique (LIX) 91128 Palaiseau Cedex FRANCE E-mail : prenom « . » nom « at » normalesup « . » org Bureau : 2023 Téléphone : (+33) (0)1 77 57 80 61

Sorry, no English version

Nous nous intéressons maintenant à la dualité sommets/faces. On considère pour cela un polyèdre régulier, on place un point au cenre de chacune de ses faces, et on relie entre eux les points qui correspondent à des faces adjacentes. On obtient un nouveau polyèdre dont les sommets correspondent aux faces du premier. Ce polyèdre s'appelle le dual du premier.

Il est facile de voir que le polyèdre obtenu est lui aussi régulier, et que lorsque l'on fait deux fois de suite cette opération, on retombe sur le polyèdre de départ (à une homothétie près), c'est-à-dire que le bidual d'un polyèdre est lui-même. Ses faces sont des polygones dont le degré est le degré des sommets du polyèdre de départ, et ses sommets sont de degré le degré des faces du polyèdre initial.

On a alors les correspondances tétraèdre/tétraèdre, cube/octaèdre, et dodécaèdre/icosaèdre. Le nombre de faces de l'un correspond au nombre de sommets de l'autre ; le nombre d'arêtes est conservé par passage au dual.

Polyèdre Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre Nombre de faces 4 6 8 12 20 Nombre de sommets 4 8 6 20 12 Nombre d'arêtes 6 12 12 30 30 Degré des faces 3 4 3 5 3 Degré des sommets 3 3 4 3 5

Passons aux photos. Il faut un peu d'imagination pour voir le polyèdre inscrit, dont les arêtes ne sont pas toujours présentes. Parfois, les polyèdres ne sont pas complets pour qu'on puisse mieux voir le polyèdre dual inscrit.

Tétraèdre

Vous devez voir un autre tétraèdre en ne regardant que les centres des faces.

Cube

Vous devez voir un octaèdre en ne regardant que les centres des faces. Les arêtes de l'octaèdre sont visibles.

Octaèdre

Vous devez voir un cube en ne regardant que les centres des faces.

Dodécaèdre

Vous devez voir un icosaèdre en ne regardant que les centres des faces. Sur certaines photos, j'ai mis des aimants dorés sur les sommets de l'icosaèdre.

Icosaèdre

Vous devez voir un dodécaèdre en ne regardant que les centres des faces. Sur les deux dernières photos, on repère facilement le dodécaèdre, car ses arêtes contiennent des cubes dorés.