géométrie

 Depuis Felix Klein, on conçoit une géométrie comme l'étude des propriétés invariantes par l'action d'un groupe. Le théorème de Cayley plongeant tout groupe dans un groupe symétrique, ce denier revêt une importance générale, certes plus théorique qu'effective, et foisonne déjà de questions intrinsèquement enrichissantes. La géométrie classique, plane ou spatiale, fonde l'intuition pour l'étude des groupes affines et orthogonaux, le cadre plus général de produit scalaire menant aux formes quadratiques et hermitiennes, ces dernières permettant de traiter de manière naturelle la géométrie des coniques (une approche projective serait également fructueuse mais nous ne l'envisagerons pas ici).

 C'est une fois le langage de l'analyse vectorielle assimilé que les propriétés géométriques des courbes (paramétrées ou non selon notre bon vouloir) peuvent prendre leur essor et sortir du carcan stérile d'étude de fonctions. Enfin, l'apparente complexité des énoncés de calcul différentiel (référant sans cesse à des difféomorphismes) peut être levée si l'on envisage – suivant Klein – la géométrie différentielle comme l'étude des propriétés invariantes par l'action d'un groupe de difféomorphismes. Nous n'aborderons pas les aspects géométriques des variétés différentielles.

exercices

• groupes
  Des petites choses à droite à gauche pour se familiariser avec les groupes.
• groupe symétrique
  Le B-A-ba de la conjugaison chez les permutations avec deux problèmes intéressants pour se faire la main.
• géométrie affine (30 mai 2007)
  Une brève série d'exercices pour illustrer la convexité dans les espaces vectoriels dont on a affacé l'origine. En font partie des théorèmes moins connus : Carathéodory, Radon, Helly et Krasnosel'skii.
• géométrie plane
• géométrie de l'espace
• espaces préhilbertiens (7 juin 2007)
  Des tas de choses sur le produit scalaire en dimention finie (ou pas). Le plan eucliden et l'espace ambiant (celui qui sert en physique, quoi) restent une source riche en problèmes (ces derniers sont en cours de transfert vers des deux feuilles précédentes).
• espaces euclidiens (V. CHANTIER)
  Quelques exercices choisis du tome 3 d'algèbre de FGN.
• formes quadratiques réelles et hermitiennes complexes (7 juin 2007)
  Plein de choses en vrac sur comment les carrés nous posent des problèmes intéressants. (La partie purement algébrique sera bientôt tranférée dans la section algèbre commutative.)
• plein de choses sur les coniques (19 juin 2008)
  Dès que possible, j'illustrerai ces exercies par De belles figures manquent cruellement à ces exercices. J'espère que ce ne sera pas trop aride à lire d'ici là.
• géométrie différentielle (8 avril 2009)
  Si vous voulez interpréter géométriquement la comatrice, suivez cette feuille.
• courbes paramétrées
  Je signale à ce sujet la remarquable page, dont les inombrables illustrations et animations devraient raviver – espère-t-on – l'intérêt porté à cette faune d'une diversité des plus déroutante.

cours

• groupes (V. CHANTIER)
  + pot pourri (compilé de forums)
• groupes symétriques (V. CHANTIER)
  
• espaces affines (V. CHANTIER mai 2007)
  
• produis scalaires (espaces préhilbertiens) (V. CHANTIER avril 2007)
  
• coniques (V. q-achevée) (pour TSI 1)
  coniques & quadriques (V. q-achevée) (pour Optimal)
• différentiabilité (V. CHANTIER)
• paramétrage de courbes (V. CHANTIER)
• + pot pourri géométrie (compilé de forums)

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