La structure d'algèbre (unifère et commutative) est un hybride entre celles d'anneau et d'espace vectoriel, la compatibilité entre les deux multiplications (interne et externe) s'exprimant par un axiome d'"associativité". Cette vision équivaut à se donner un morphisme d'anneaux de source le corps de base, l'espace but étant l'algèbre – vue en tant qu'anneau. (En voyant par ailleurs l'algèbre comme un espace vectoriel, les axiomes de distributivité et d'"associativité" s'expriment simplement dans la bilinéarité de sa multiplication.)
En remplaçant le corps de base par un anneau A (le terme K-espace vectoriel devient alors A-module, celui de K-algèbre devenant A-algèbre), on a encore une notion de A-algèbre définie par l'une des trois visions ci-dessus. En adoptant la seconde, l'algèbre, en tant qu'étude des algèbres, devient ainsi celle des morphismes d'anneaux.
L'algèbre commutative concerne l'étude des morphismes entre anneaux commutatifs, tels les corps usuels ou les anneaux de polynômes et ses extensions naturelles (fractions rationnelles, séries formelles). Tout anneau étant par ailleurs muni d'une (unique) structure de Z-algèbre (itérer un élément pour l'addition), l'étude de l'anneau initial Z devient incontournable. Insistons par ailleurs sur l'importance calculatoire des polynômes dans les algèbres : ces derniers sont des fonctions de calcul universel dans ces dernières : le calcul algébrique s'identifie au calcul polynomial.
L'arithmétique traite des questions de divisibilité, domaine déjà immensément riche chez les entiers naturels et dont on peut effleurer la difficulté en s'intéressant seulement aux nombres premiers (qui se généralisent aux nombres irréductibles). Les nombres idéaux introduits par Kummer puis Dedekind étendent les nombres d'un anneau commutatif (à tout nombre correspond un idéal dit principal) et permettent de retrouver des propriétés de factorisation en irréductibles qui font défaut aux nombres ordinaires. Dans le parti moderne, les idéaux émergent naturellement de l'étude des anneaux quotients. Il faut cependant garder à l'esprit leurs motivations historiques pour mieux saisir leur rôle crucial en arithmétique.
(L'algèbre non commutative s'intéresse plutôt aux algèbres de matrices (typiquement non commutatives) et plus généralement à celles d'opérateurs en dimension quelconque.)
Voici pour terminer deux problèmes, l'un autour des anneaux & algèbres de Boole, l'autre autour d'un théorème de Jacobson.
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