Workshop: Groups of dynamical origin

Sebastián Barbieri (curso, 4h): Dinámica simbólica sobre los grupos.
En la teoría clásica, los espacios de shift consisten en conjuntos de secuencias bi-infinitas de símbolos equipados con la acción de traslación. Este tipo de sistema puede ser utilizado para codificar sistemas dinámicos más complejos, como difeomorfismos de tipo Anosov. En este curso estudiaremos la generalización de este tipo de sistemas al caso de acciones de grupos numerables. En particular, veremos como ciertas propiedades algebraicas (residualmente finito, promediable, etc) y computacionales (problema de la palabra decidible, recursivamente presentado) del grupo se traducen en términos de la dinámica de los espacios de shift definidos sobre él. Exploraremos también algunas preguntas abiertas sobre propiedades generales de estos espacios y daremos algunas respuestas parciales a ellas.

Matias Carrasco (curso, 4h): Cuasi-isometrías de espacios homogéneos de curvatura negativa.
Los espacios homogéneos de curvatura negativa fueron caracterizados por Heintze en 1974. Un tal espacio es isométrico a un grupo de Lie soluble G munido de una métrica Riemanniana invariante a izquierda. El grupo G es un producto semi-directo N⋊_αR, en donde N es un grupo de Lie nilpotente, simplemente conexo, y α es una derivación del álgebra de Lie de N cuyos valores propios son todos de parte real positiva. Estos grupos se conocen como grupos de Heintze. En este mini-curso estudiaremos la geometría a gran escala de tales grupos. Nos centraremos en las siguientes dos preguntas:
1) ¿Cuales son las clases de cuasi-isometría entre los grupos de Heintze?
2) ¿Cómo actúan las (auto) cuasi-isometrías de un grupo de Heintze dado?
En lo que refiere a 1) la conjetura es que dos grupos de Heintze puramente reales (i.e. α tiene valores propios reales) son cuasi-isométricos si, y solo si, son isomorfos. Sobre 2), se conjetura que, salvo cuando G es isométrico a un espacio simétrico de rango uno, existe un punto ∞ en el borde de G que es fijo por toda (auto) cuasi-isometría. Veremos algunos resultados que confirman las conjeturas en ciertas familias particulares de grupos de Heintze, pero sobre todo estudiaremos las técnicas que se han desarrollado para atacar estos problemas.

Maria Paula Gomez Aparicio (curso, 3h): Propriedad T de Kazhdan y generalizaciones.
La propiedad (T) es una propiedad de rigidez de las representaciones unitarias de un grupo : no es posible deformar su representación trivial. Fue introducida por Kazhdan en 1967 y desde entonces ha tenido aplicaciones en varios campos de las matemáticas como en teoría analítica o geométrica de grupos, algebras de operadores, teoría ergódica. Para grupos denombrables es equivalente a una propiedad de rigidez de acciones de grupo, la propiedad (FH) : toda acción por isometrías afines en un espacio de Hilbert tiene un punto fijo. Estas dos propiedades han sido generalizadas, en varios casos, a acciones en espacios de Banach y representaciones en espacios de Banach con condiciones de crecimiento, respectivamente. En este mini-curso, comenzaré por definir la propiedad (T) en el caso unitario (definición, ejemplos, primeras consecuencias); luego explicaré una caracterisación en terminos de C^*-algebras de grupos que permitirá definir, en la útlima parte del curso, una generalización a ciertas representaciones en espacios de Banach.

Sebastian Hurtado (curso, 4h): Rigidez de acciones sobre variedades: programa de Zimmer.
Ciertos grupos de Lie como SL₃(R) y espacios localmente simétricos como SL₃(R)/SL₃(Z) tienen una propiedad llamada "rigidez". La idea general de rigidez es que si hay dos de estos espacios "rígidos" M, N, y un mapa topológico f: M → N, entonces f debe ser homotopico a un mapa que es fácil de entender (proviene de un mapa algebraico) La idea de estas 4 charlas es de explicar este concepto y discutir cierto conjunto de problemas (el Programa de Zimmer) que generalizan teoremas clásicos de rigidez de Margulis y Mostow. Las charlas serán divididas así:
1) Rigidez de Mostow y Margulis. Acciones de grupos en variedades. Rigidez de cociclos de Zimmer.
2) Propiedad T.
3) Entropia y la formula de Ledrappier-Young.
4) La conjetura de Zimmer.
Tratare de asumir tan pocos prerequisitos como sea posible pero para tener una idea de cuales son los objetos a ser discutidos, recomiendo leer Introduction to Arithmetic groups de Dave Witte Morris.

Nancy Guelman (plática, 1h): Elementos reversibles en Transformaciones de Intercambio de Intervalos
Un elemento de un grupo es reversible si es conjugado a su inverso. Si la conjugación es una involución el elemento se dice fuertemente reversible. Analizaremos cuales son los elementos fuertemente reversibles en un grupo de transformaciones de intercambio de intervalos.

Jesús Hernández Hernández (plática, 1h): Rigidez del grafo de curvas
Una herramienta que ha sido muy útil para el estudio de superficies es el grafo de curvas. En particular, hay una relación directa entre resultados concernientes al grafo de curvas y resultados del grupo modular de una superficie. En esta plática nos enfocaremos en las propiedades de rigidez del grafo, es decir, qué adjetivos son suficientes para que un morfismo de grafo del grafo de curvas en sí mismo, sea un automorfismo; a su vez, veremos cómo obtener entonces resultados del grupo modular.