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Maître de Conférences à l'Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck.

Maître de Conférences at Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck.

Adresse actuelle:
IMJ-PRG, Sorbonne Université
Bureau 1626-5-02
4, place Jussieu
75252 Paris Cedex 05.

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Séminaire Méditerranéen de Géométrie Algébrique, mars 2020

Notes de cours HLMA101 (1) Notes de cours HLMA101 (2)

Research themes Thèmes de recherche

(primary) Complex hyperbolicity, Kobayashi conjecture, Green-Griffiths-Lang conjecture, jet bundles, symmetric differential forms, orbifold in the sense of Campana; (secondary) combinatorial algebraic geometry, Gysin formulas.

(principal) hyperbolicité complexe, conjecture de Kobayashi, conjecture de Green-Griffiths-Lang, fibrés de jets, formes différentielles symétriques, paires orbifoldes de Campana; (secondaire) géométrie algébrique combinatoire, morphismes de Gysin.

Published work & Preprints Publications & Prépublications

  1. «Fiber Integration on the Demailly Tower», Annales de l'Institut Fourier 66(1):29-54, 2016

    doi |

    The goal of this work is to provide a fiber integration formula on the Demailly tower, that avoids step-by-step elimination of horizontal cohomology classes, and that yields computational effectivity. A natural twist of the Demailly tower is introduced and a recursive formula for the total Segre class at kth level is obtained. Then, by interpreting single Segre classes as coefficients, an iterated residue formula is derived.

    Le but de ce travail est de produire un formule d'intégration le long des fibres de la tour de Demailly, qui évite l'élimination pas-à-pas des classes de cohomologie horizontales, et qui permet des calculs effectifs. Un twist naturel de la tour de Demailly est introduit et une formule récursive pour la classe de Segre totale au niveau k est obtenue. Puis, en interprétant les classes de Segre individuelles comme des coefficients, une formule de résidus itérés en est déduite.

  2. «Slanted Vector Fields for Jet Spaces», Mathematische Zeitschrift 282(1):547-575, 2016

    doi | arXiv |

    Des repères de champs de vecteurs obliques à pôles d'ordre contrôlé sont construits sur l'espace des k-jets verticaux de la famille universelle des intersections complètes de ℙⁿ et, en adaptant les arguments, des repères de champs de vecteurs obliques à pôles d'ordre contrôlé sont aussi construits sur l'espace des k-jets verticaux logarithmiques le long de la famille universelle des hypersurfaces projectives de ℙⁿ avec plusieurs composantes irréductibles lisses.

    à la fois l'ordre des pôles (ici =5k-2) et la détermination du lieu où le résultat d'engendrement global fait défaut sont clarifiés par rapport à la littérature (précédemment =k²+2k), à l'aide de trois nouveaux ingrédients: nous reformulons le problèmes en utilisant une certaine action adjointe, nous introduisons un nouveau formalisme de coordonnées de jets géométriques, et ensuite nous construisons ce que nous appelons des champs de vecteurs élémentaires, transformant le problème pour un ordre de jets arbitraire k≥1 en un analogue exact du cas bien plus facile où k=0, i.e. où les coordonnées de jets ne sont pas utilisées.

    Low pole order frames of slanted vector fields are constructed on the space of vertical k-jets of the universal family of complete intersections in ℙⁿ and, adapting the arguments, low pole order frames of slanted vector fields are also constructed on the space of vertical logarithmic k-jets along the universal family of projective hypersurfaces in ℙⁿ with several irreducible smooth components.

    Both the pole order (here =5k−2) and the determination of the locus where the global generation statement fails are improved compared to the literature (previously =k²+2k), thanks to three new ingredients; we reformulate the problem in terms of some adjoint action, we introduce a new formalism of geometric jet coordinates, and then we construct what we call building-block vector fields, making the problem for arbitrary jet order k≥1 into a very analog of the much easier case where k=0, i.e. where no jet coordinates are needed.

  3. «On the Logarithmic Green-Griffiths Conjecture», International Mathematics Research Notices, 2016(6):1871-1923, 2016

    doi | arXiv |

    In this work, we establish that for complements of general hypersurfaces H ⊂ ℙⁿ of degree d ≥ (5n)²nⁿ, entire holomorphic curves f: ℂ→ℙⁿ∖H are algebraically degenerate. The proof follows in outline the recent implementation by Diverio-Merker-Rousseau of the variational method of Voisin-Siu combined with Demailly's algebraic Morse inequalities, into which it incorporates two new key ingredients, namely an iterated residue formula following Bérczi, and low pole order logarithmic slanted vector fields, thereby reducing the reputedly chalenging main result to a careful use of majorant series.

    Il est établi que pour les complémentaires d'hypersurfaces générales H ⊂ ℙⁿ de degré d ≥ (5n)²nⁿ, les courbes holomorphes entières f: ℂ→ℙⁿ∖H sont algébriquement dégénérées. La preuve suit les grandes lignes de la mise en œuvre récente par Diverio-Merker-Rousseau de la méthode variationnelle de Voisin-Siu combinée avec les inégalités de Morse algébriques de Demailly, à laquelle deux nouveaux ingrédients clefs sont incorporés, à savoir une formule de résidus itérés suivant Bérczi et des champs de vecteurs obliques logarithmiques méromorphes à pôles d'ordre contrôlé, réduisant ainsi le résultat principal, réputé difficile, à une application méticuleuse de la théorie des séries majorantes.

  4. [D–, Pragacz]: «Universal Gysin formulas for flag bundles», International Journal of Mathematics 28(11):1750077, 2017

    doi | arXiv |

    C'est un travail commun avec Piotr Pragacz. Nous donnons des formules de push-forward pour tous les fibrés de drapeaux en types A, B, C, D. Les formules (et aussi leurs preuves) n'impliquent que les classes de Segre du fibré de départ et les classes caractéristiques des fibrés universels. Comme application, nous établissons des nouvelles formules déterminantales.

    This is a joint work with Piotr Pragacz. We give push-forward formulas for all flag bundles of types A, B, C, D. The formulas (and also the proofs) involve only Segre classes of the original vector bundles and characteristic classes of universal bundles. As an application, we provide new determinantal formulas.

  5. [Brotbek, D–]: «Complete intersection varieties with ample cotangent bundles», Inventiones Mathematicae, 212(3):913-940, 2018.

    doi | arXiv |

    C'est un travail commun avec Damian Brotbek. Toute variété projective lisse contient un grand nombre de sous-variétés intersections complètes ayant un fibré cotangent ample, en toute dimension jusqu'à la moitié de sa propre dimension.

    This is a joint work with Damian Brotbek. Any smooth projective variety contains many complete intersection subvarieties with ample cotangent bundles, of each dimension up to half its own dimension.

  6. [D–, Pragacz]: «Gysin maps, duality and Schubert classes», Fundamenta Mathematicae, 244(2019):191-208, 2019.

    doi | arXiv |

    C'est un travail commun avec Piotr Pragacz. Nous donnons des formules de Gysin pour les fibrés de Schubert et une version forte du théorème de dualité en calcul de Schubert sur les fibrés grassmanniens. Nous les combinons ensuite pour calculer la classe fondamentale des fibrés de Schubert dans les fibrés grassmanniens, ce qui fournit une nouvelle preuve de la formule de Giambelli pour les fibrés vectoriels.

    This is a joint work with Piotr Pragacz. We establish a Gysin formula for Schubert bundles and a strong version of the duality theorem in Schubert calculus on Grassmann bundles. We then combine them to compute the fundamental classes of Schubert bundles in Grassmann bundles, which yields a new proof of the Giambelli formula for vector bundles.

  7. [D–, Pragacz]: «Flag Bundles, Segre Polynomials and Push-Forwards», In: Hu J., Li C., Mihalcea L.C. (eds) Schubert Calculus and Its Applications in Combinatorics and Representation Theory. ICTSC 2017. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, vol 332. Springer, Singapore. | doi | arXiv |

    C'est un travail commun avec Piotr Pragacz. Dans cette note, nous donnons des formules de Gysin pour les variétés de drapeaux relatives pour les groupes classiques. Nous donnons ensuite des formules de Gysin pour les variétés de Schubert dans les fibrés grassmanniens, y compris isotropiques. Toutes ces formules sont prouvées de façon relativement uniforme en utilisant la construction par étapes des fibrés de drapeaux et la formule de Gysin pour un fibré projectif. Nous obtenons ainsi une liste complète de nouvelles formules universelles. Le contenu de ce papier a été présenté par Piotr Pragacz à la conférence "International Festival in Schubert Calculus" à Guangzhou, 6-10 novembre 2017.

    This is a joint work with Piotr Pragacz. In this note, we give Gysin formulas for partial flag bundles for the classical groups. We then give Gysin formulas for Schubert varieties in Grassmann bundles, including isotropic ones. All these formulas are proved in a rather uniform way by using the step-by-step construction of flag bundles and the Gysin formula for a projective bundle. In this way we obtain a comprehensive list of new universal formulas. The content of this paper was presented by Piotr Pragacz at the International Festival in Schubert Calculus in Guangzhou, November 6-10, 2017

  8. [Campana, D–, Rousseau]: «Orbifold hyperbolicity», à paraître dans to appear in Compositio Mathematica, 2020.

    arXiv |

    C'est un travail commun avec Frédéric Campana et Erwan Rousseau. Nous définissons et nous étudions les fibrés de jets dans la catégorie des orbifoldes géométriques. Nous montrons que les argument des cadres compact et logarithmique ne s'étendent pas tous dans ce cadre plus général. Ceci est illustré par des exemples simples de paires orbifolde de type général qui n'admettent pas de différentielles de jets globales, alors même que certains de ces exemples vérifient la conjecture de Green-Griffiths-Lang. Ceci contraste avec un résultat important de Demailly (2010) qui prouve que les variétés compactes de type général admettent toujours des différentielles de jets. Nous illustrons l'utilité de l'étude des jets orbifoldes en établissant l'hyperbolicité de certaines surfaces orbifoldes, qui ne peut pas être obtenue avec les techniques actuelles en théorie de Nevanlinna. Nous conjecturons également que le résultat de Demailly devrait être vérifié par les paires orbifoldes à bord lisse sous une certaine condition naturelle de multiplicités, et nous donnons des résultats dans cette direction.

    This is a joint work with Frédéric Campana and Erwan Rousseau. We define and study jet bundles in the geometric orbifold category. We show that the usual arguments from the compact and the logarithmic setting do not all extend to this more general frame. This is illustrated by simple examples of orbifold pairs of general type that do not admit any global jet differential, even if some of these examples satisfy the Green-Griffiths-Lang conjecture. This contrasts with an important result of Demailly (2010) proving that compact varieties of general type always admit jet differentials. We illustrate the usefulness of the study of orbifold jets by establishing the hyperbolicity of some orbifold surfaces, that cannot be derived from the current techniques in Nevanlinna's theory. We also conjecture that Demailly's theorem should hold for orbifold pairs with smooth boundary divisors under a certain natural multiplicity condition, and provide some evidences towards it.

  9. [D–, Rousseau]: «Quasi-positive orbifold cotangent bundles ; Pushing further an example by Junjiro Noguchi», arXiv preprint: 2006.13515, 2020.

    arXiv |

    In this work, we investigate the positivity of logarithmic and orbifold cotangent bundles along hyperplane arrangements in projective spaces. We show that a very interesting example given by Noguchi (as early as in 1986) can be pushed further to a very great extent. Key ingredients of our approach are the use of Fermat covers and the production of explicit global symmetric differentials. This allows us to obtain some new results in the vein of several classical results of the literature on hyperplane arrangements. These seem very natural using the modern point of view of augmented base loci, and working in Campana's orbifold category. As an application of our results, we derive two new orbifold hyperbolicity results, going beyond some classical results of value distribution theory

  10. [Campana, D–, Demailly, Rousseau]: On the existence of logarithmic and orbifold jet differentials, arXiv preprint: 2109:00764, 2021.

    arXiv |

    We introduce the concept of directed orbifold, namely triples (X, V, D) formed by a directed algebraic or analytic variety (X, V), and a ramification divisor D, where V is a coherent subsheaf of the tangent bundle TX. In this context, we introduce an algebra of orbifold jet differentials and their sections. These jet sections can be seen as algebraic differential operators acting on germs of curves, with meromorphic coefficients, whose poles are supported by D and multiplicities are bounded by the ramification indices of the components of D. We estimate precisely the curvature tensor of the corresponding directed structure V⟨D⟩ in the general orbifold case-with a special attention to the compact case D = 0 and to the logarithmic situation where the ramification indices are infinite. Using holomorphic Morse inequalities on the tautological line bundle of the projectivized orbifold Green-Griffiths bundle, we finally obtain effective sufficient conditions for the existence of global orbifold jet differentials.


Varia

PEPS « Jeunes chercheuses et jeunes chercheurs » 2019

PEPS « Jeunes chercheuses et jeunes chercheurs » 2021

Délégation CNRS à l'Institut Élie Cartan de Lorraine (1er semestre 2020–21).

Exposés et Invitations Talks and Research visits

  • au groupe de travail "hyperbolicité", Nancy, le 15 octobre 2020.
  • au groupe de travail "hyperbolicité", Nancy, le 17 septembre 2020.
  • au Séminaire de Géométrie de Nancy, le 14 septembre 2020.
  • Oberwolfach Research Fellow (avec Ch. Mourougane et P.-E. Chaput), MFO, 12–25 juillet 2020.
  • au Workshop Alkage 2020, Grenoble, le 13 mars 2020.

Actualités Current events

I will be a participant of the conferences:

Je vais participer aux rencontres:

  • Rencontre biennale du GDR "Géométrie Algébrique et Géométrie Complexe" (organisateur), novembre 2022.

I have attended the conferences:

J'étais aux rencontres:

  • Séminaire Méditerranéen de Géométrie Algébrique (6) (organisateur), Luminy, septembre 2021.
  • Workshop Alkage 2020, Grenoble, mars 2020.

Lionel Darondeau

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