On pourrait dans un premier temps décrire l'analyse comme l'étude du quantitatif et de ses variations.
Lorsque l'on part des entiers naturels et que l'on cherche de nouvelles "quantités", définies implicitement par des équations telles que n + 1 = 0, 2m = 1, r² = 2, i² + 1 = 0, on est amené à élargir le spectre des quantités "intuitives" en passant de N à Z, puis à Q, à R et enfin à C. Ce dernier contenant toutes les quantités implicitement définies par une équation algébrique (c'est-à-dire polynomiale), nous n'aurons pas besoin de considérer des extensions plus sophistiquées.
Le corps R, implicitement utilisé par les physiciens dans les anciens problèmes de cinématique, se prête bien à l'étude des variations grâce à son ordre, les questions de variations se traduisant alors en termes de comparaisons. Ces dernières, incompatibles avec la structure de corps de C et par conséquent distinguant fondamentalement R de ce dernier, permettent aussi d'exprimer les notions de limite et de continuité. Mais ce serait ainsi masquer un aspect topologique (comment caractériser la "proximité" de deux quantités) qui s'applique tout aussi bien à C sans avoir pour autant besoin de comparaisons pour s'exprimer. La norme (valeur absolue ou module) est le langage idéal pour opérer une transition sans heurt de R vers C, ce dernier fournissant ainsi un pont idéal entre analyse réelle et analyse vectorielle.
L'étude des applications respectant la topologie de R ou C mène à la définition et l'étude de la continuité, notion dont nous pourrions prendre l'étude comme constitutive de l'analyse. Sous une hypothèse de continuité, de nombreuses équations fonctionelles (équations dont l'inconnue est une fonction) se trouvent grandement simplifiées (ainsi l'unicité de l'exponentielle comme transformant somme en produit). La présence de rationnels aussi proches de 0 que souhaité permet l'utilisation du dénombrable (les suites) dans les question d'analyse. Le problème originiel de la détermination de la tangente d'un graphe d'une fonction en un point donné conduit naturellement aux taux d'accroissement et à leurs limites : les dérivées. Pour des raisons de différence de voisinage (retirer un point coupe ou non celui-là en deux), la dérivabilité complexe est énormément plus contraignante que celle réelle, menant à une théorie dont nous n'aborderons pas ici les spécificités. La notion si géométriquement complaisante de convexité est une bouffée d'air intuitif, mêlant avec élégance les problèmes d'intégration et de comparaisons ; une fleur dans l'aridité de l'analyse, qui se trouve aussi être un concept fondamental de cette dernière.
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