préliminaires

 Une fois que l'on s'est convaincu qu'une approche logique et axiomatique de la mathématique devient au-delà d'un certain stade nécessaire pour assoir et développer son discours, il devient légitime de s'intéresser à celles-ci ainsi qu'aux possibilités qu'offre la théorie des ensembles de coder une bonne part de la mathématique (au moins toute celle de prépa).

 Sont ainsi considérés comme préléminaires des concepts fondamentaux comme la logique, les ensembles, les applications, les entiers naturels, les relations (binaires) et les lois (de composition). Nous avons arbitrairement rajouté les probabilités du fait du caractère ensembliste du langage décrivant les objets mathématiques modélisant une expérience et son aléa.

exercices

• logique propositionnelle de Wajsberg (8 mai 2015) (améliore la logique propositionnelle de Nicod (16 mai 2015).
  La logique de Wajsberg est fondée sur un seul connecteur (Sheffer), une seule règle et (plus fort) un seul axiome. On montre ici qu'elle peut fonder la logique des propositions.
• ensembles et applications (27 septembre 2011)
  On commence par les rudiments de la théorie des ensembles. Ici flirtent gammes, grands classiques, exercices de calcul et d'équipotence nécessitant de l'imagination, et une démonstration accessible du lemme de Zorn (sans les ordinaux).
• injections & surjections (20 octobre 2007)
  Un feuille qui ressemble plus à un DM (pas d'exercice ayant chacun sa personnalité) mais qui permettra de se roder aux images directes et réciproques ainsi qu'avec leur lien avec les injections et surjections.
• entiers naturels :
  axiomes de l'infini : met à jour l'amande logique de "l'"axiome de l'infini en décrivant tout un schéma de tels axiomes (équivalents).
  récurrences : définit les lois arithmétiques standards et établit de façon très "pédestres" les premières propriétés "évidentes".
  axiomatisation "itérative" : présente en quoi le théorème d'existence-unicité des suites "définies" par récurrence axiomatise les entiers naturels. (reverse mathematics, annexe d'un mémoire de philosophie des sciences)
• combinatoire (19 juin 2008)
  0, 1, 2, 3, ... Si vous savez compter, cette feuille est faite pour vous ! On y illustre plusieurs méthodes pour prouver des identités remarquables, le groupe symétrique étant une source intarissable d'exemples. Le lemme de Sperner, dont découle élégamment le théorème de Brouwer, y est démontré.
• relations d'ordre (V. CHANTIER 2014+18)
  De nombreux exercices autour des suprema et infima ainsi que les segments initiaux. La coda, inspirée de Gian-Carlo Rota, généralise l'inversion de Möbius.
• ordinaux (V. CHANTIER 2013)
  Les nombres ordinaux (qui servent à ordonner) forment la colonne vertébrale d'une classe particulière d'ensembles ordonnés : les bons ordres. Ils fournissent un langage agréable (calqué sur les entiers) pour démystifier nombres d'énoncés qui se réduisent à des récurrences transfinies (par exemple l'axiome du choix) vers lesquelles nous pousse l'intuition de l'induction finie.
• relations binaires (20 octobre 2007)
  Relation d'ordre et relations d'équivalence, quelques petites choses pour s'entraîner.
• lois de composition (V. CHANTIER octobre 2007)
  (bonus : ce DM long brosse les structures vues en prépa avec quelques réalisations : matrices 2x2, complexes, quaternions)
• probabilités (18 juin 2014)
  Quelques exercices classiques sur les probabilités finies, croisés avec des jeux et paradoxes tout aussi classiques (Bertrand, Simpson, Monty Hall). L'accent est porté sur la démarche extra-mathématique, à savoir la modélisation des expériences et celle de leur aléa. Le dernier exercice (problème des chapeaux) aurait sans doute plus sa place dans la feuille ensembliste.

 Voici en complément trois mini-DMs pour s'exercer aux structures algébriques, ayant pour bases les modèles usuels des complexes (le plan R²), des polynomes (les suites qui stationnent à zéro) et des matrices (les tableaux n'ayant qu'un nombre fini de coefficients non nuls).

• axiomatique du plan complexe (29 novembre 2010)
• axiomatique des matrices (29 novembre 2010)
• axiomatique des polynômes (V. CHANTIER)
  

cours

• logiques :
  introduction à la mathématique symbolique (25 mai 2012)
  préliminaires prélogiques (29 mai 2012)
  logique propositionnelle (V. CHANTIER avril 2015)
  logique prédicative (V. CHANTIER avril 2015)
  
• ensembles :
  axiomes ensemblistes (V. CHANTIER septembre 2007)
  langages ensembliste (relations, applications, familles...) (V. CHANTIER septembre 2007)
  + pot pourri (compilé de forums)
  
• relations binaires (V. CHANTIER 18 octobre 2007)
  
• lois de composition (V. CHANTIER)
  
• entiers naturels (V. CHANTIER)
  
• combinatoire (V. CHANTIER 3 décembre 2006)
  + pot pourri (compilé de forums)
• probabilités (V. CHANTIER 18 juin 2014)
  

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