Groupe de travail à Rennes, au sein de l'
IRMAR :
Travaux de Robert Young sur la conjecture de Thurston pour
SLn(Z)
Une conjecture de Thurston prédit que les lacets dans
SLn(Z)
ont un
remplissage
("fonction de Dehn") quadratique pour tout n≥4. Dans une
prépublication
récente The Dehn function of
SL(n;Z), R. Young affirme prouver la conjecture pour
n≥5.
Le groupe de travail ne supposera pas de prérequis et on se donnera
plusieurs séances pour se familiariser avec la notion de fonction de
Dehn
d'un groupe, définie comme δ(n) égal au suprémum des aires
des
lacets
de longueur n, ainsi qu'avec les bases de la géométrie de
SLn(Z),
avant
d'attaquer le vif du sujet.
Pour n≥2, SLn(Z) s'obtient
essentiellement
en découpant, dans
SLn(R) (ou plutôt son espace symétrique),
des "horoboules", dont la frontière (horosphère) peut s'identifier au
groupe Hn produit semi-direct de
SLn-1(R) par
Rn-1. Pour
n=3, Hn a
une
fonction de
Dehn
exponentielle et on peut en déduire qu'il en est de même pour
SL3(Z).
En
revanche, pour n≥4, on peut montrer que ce groupe de Lie
"périhérique" a
une
fonction
de
Dehn quadratique, ce qui motive la conjecture de Thurston.
Jeudi 14 janvier 2010 à 14h: séance introductive, par Yves
de
Cornulier. Il s'est agi d'une petite introduction
au sujet, notamment à la notion de fonction de Dehn. Ceux qui n'ont pas
pu y assister peuvent se référer aux notes de cours suivantes (archives), notamment le
chapitre 11 sur les fonctions de Dehn, et le chapitre 3 pour la notion
de quasi-isométrie.
Jeudi 28 janvier à 14h: SLd(Z) est non
distordu dans SLd(R) si d≥3, d'après
Lubotzky-Mozes-Raghunathan par
Sébastien Gouëzel.
Résumé : Si u est une matrice unipotente distincte de
l'identité
dans SL2(Z), on sait que uk est de
longueur exponentielle (en k) dans SL2(Z) mais
de longueur
linéaire
dans
SL2(R).
On dit que SL2(Z) est "exponentiellement distordu"
dans SL2(R). On
a présenté un résultat de Lubotzky-Mozes-Raghunathan (1993) disant que
ce
phénomène disparaît en rang supérieur : si n>2, la longueur
des
mots
sur
SLn(Z) et la distance riemannienne dans
SLn(R) sont
équivalentes.
Jeudi 11 février à 14h, salle 6: Fonctions de Dehn des
groupes
hyperboliques par Anna
Lenzhen.
Résumé : on a montré les
équivalences,
pour
un
groupe de présentation
finie, entre
- G est hyperbolique (au sens de Gromov)
- G a une fonction de Dehn linéaire
- G a une fonction de Dehn sous-quadratique.
Lundi 15 février à 15h30: Fonctions de Dehn
exponentielles, par Yves de Cornulier.
Résumé : on a montré que la fonction de
Dehn d'un groupe de Lie connexe est toujours au plus exponentiel, ce qui
est optimal dans certains cas, notamment pour SOL et les horosphères de
SL3(R); on en a déduit que SL3(Z)
possède une fonction de Dehn minorée exponentiellement. On a indiqué
comment SLn(R) se rétracte par déformation sur un
épaississement de SLn(Z), ce qui permet notamment de
montrer que
SLn(Z) est de présentation finie. Voici quelques notes.
Lundi 22 mars à 15h30: Groupes résolubles à fonctions
de Dehn
quadratiques, par Yves de Cornulier.
Jeudi 25 mars à 14h: Peignages et fonction de Dehn de
SL2(Z[1/p]) (d'après Taback),
par Bert
Wiest.
Jeudi 1er avril à 14h: François Maucourant.
Nous vous invitons à venir nombreux! Pour tout
renseignement, suggestion, ou si vous souhaitez être tenu(e) informé(e)
sur le
groupe de
travail, contactez l'un des organisateurs :
Yves de
Cornulier, Sébastien
Gouëzel,
François
Maucourant
(les liens pointent vers les pages personnelles
respectives).
Bibliographie
L'article de Robert
Young (sur arXiv)
Rapide exposé du problème par Tim Riley ici
Survey sur les fonctions de Dehn par Martin Bridson : The
geometry of the word problem
(Bridson, Salamon, Editors, "Invitations to
Geometry and Topology", Oxf. Grad. Texts in Math. 7, Oxford Univ.
Press)
Notes de cours (2007) par Y. C.: Large scale connectedness in geometric group
theory (pdf), notamment les paragraphes 11 et 12 sur la fonction
de Dehn.
Le livre de Gromov (1993) "Asymptotic invariants of infinite
groups" (notamment
les paragraphes 3.I. et 5.A.). Pour retrouver cet ouvrage
qui occupe entièrement un volume de proceedings ,
la
référence est:
G. Niblo, M. Roller, Geometric group theory,
vol. 2,
London Math
Soc. Lecture Note Ser. 182, Cambridge Univ. Press, 1993.
L'article de Taback;
version arXiv,
ou la version
publiée (accès restreint), Geom Dedicata 102(1)
(2003), 179-195.