Groupe de travail à Rennes, au sein de l' IRMAR :
Travaux de Robert Young sur la conjecture de Thurston pour SLn(Z)

Une conjecture de Thurston prédit que les lacets dans SLn(Z) ont un remplissage ("fonction de Dehn") quadratique pour tout n≥4. Dans une prépublication récente The Dehn function of SL(n;Z), R. Young affirme prouver la conjecture pour n≥5.

Le groupe de travail a débuté par plusieurs séances pour se familiariser avec la notion de fonction de Dehn d'un groupe, définie comme δ(n) égal au suprémum des aires des lacets de longueur n, ainsi qu'avec les bases de la géométrie de SLn(Z), avant d'attaquer le vif du sujet.

Pour n≥2, SLn(Z) s'obtient essentiellement en découpant, dans SLn(R) (ou plutôt son espace symétrique), des "horoboules", dont la frontière (horosphère) peut s'identifier au groupe Hn produit semi-direct de SLn-1(R) par Rn-1. Pour n=3, Hn a une fonction de Dehn exponentielle et on peut en déduire qu'il en est de même pour SL3(Z). En revanche, pour n≥4, on peut montrer que ce groupe de Lie “périphérique” a une fonction de Dehn quadratique, ce qui motive la conjecture de Thurston.

Le groupe de travail est presque clos; il est cependant possible que des séances sur la preuve de Young soient encore programmées. Ceci dit, toute proposition d'exposé est la bienvenue.
Lien vers le groupe de travail apparenté : Marches aléatoires dans les groupes
  • Mardi 23 novembre à 14h00, salle bibliothèque, Yves de Cornulier :
    Présentations algébriques et géométriques de groupes de Lie.
  • Mardi 16 novembre à 15h00, Bert Wiest :
    Inégalités isopérimétriques de Out(Fn), d'après Hatcher et Vogtmann.
  • Lundi 18 octobre, ANNULÉ pour cause de grève Christophe Pittet (Marseille 1) :
    Sur les généralisations aux groupes arithmétiques des inégalités isopérimétriques de SLn(Z).
  • Jeudi 30 septembre à 14h00, Serge Cantat :
    Fonctions de Dehn quadratiques et cônes asymptotiques (d'après Papasoglou).
  • Jeudi 23 septembre à 14h00, Bachir Bekka :
    Le théorème des sous-groupes normaux de Margulis.
  • Lundi 13 septembre à 15h30, Antoine Chambert-Loir :
    Sur le problème des sous-groupes de congruence.
  • Jeudi 27 mai 2010 à 14h, Yves de Cornulier :
    Quelques compléments.
    Résumé : on a montré que les horosphères bordant SLn(Z) (pour n≥4) ont une fonction de Dehn quadratique, et d'autre part donné une preuve (partielle) du fait que SL3(Fq[t]) est de présentation infinie.
  • Jeudi 6 mai à 14h, François Maucourant :
    Covolume fini des groupes arithmétiques, II; applications aux marches aléatoires.
  • Lundi 26 avril à 15h30, salle 06, Romain Tessera (ENS Lyon)  :
    Présentation de Steinberg de SLn(Z) et K2-théorie
    Résumé : on a introduit le groupe de Steinberg Stn(A) et le groupe de K-théorie K2(n,A), le noyau du morphisme naturel Stn(A)→SLn(A). On a montré le résultat de Milnor que K2(n,Z) est cyclique d'ordre deux si n≥3. En particulier, SLn(Z) est de présentation finie.
  • Mardi 13 avril à 14h, François Maucourant :
    Covolume fini des groupes arithmétiques, I.
  • Jeudi 1er avril à 14h, Yves de Cornulier :
    Groupes résolubles à fonctions de Dehn quadratiques.
    Résumé : on a montré que certains groupes de Lie résolubles possèdent une fonction de Dehn quadratique, notamment SOL5.
  • Jeudi 25 mars à 14h, salle 6, Bert Wiest :
    Peignages et fonction de Dehn de SL2(Z[1/p]) (d'après Taback).
    Résumé : on a montré que G=SL2(Z[1/p]) possède une fonction de Dehn exponentielle. Dans un premier temps, on montre que le groupe de Baumslag-Solitar, qui apparaît comme horosphère dans G, possède lui-même une fonction de Dehn exponentielle. (Noter l'analogie avec SL3(Z) : les deux sont des réseaux non cocompacts dans un groupe de rang déployé deux, respectivement SL3(R) et SL2(R)×SL2(Qp).)
  • Lundi 15 février à 15h30, Yves de Cornulier :
    Fonctions de Dehn exponentielles.
    Résumé : on a montré que la fonction de Dehn d'un groupe de Lie connexe est toujours au plus exponentiel, ce qui est optimal dans certains cas, notamment pour SOL et les horosphères de SL3(R); on en a déduit que SL3(Z) possède une fonction de Dehn minorée exponentiellement. On a indiqué comment SLn(R) se rétracte par déformation sur un épaississement de SLn(Z), ce qui permet notamment de montrer que SLn(Z) est de présentation finie. Voici quelques notes.
  • Jeudi 11 février à 14h, Anne Lenzhen :
    Fonctions de Dehn des groupes hyperboliques.
    Résumé : on a montré les équivalences, pour un groupe de présentation finie, entre
    - G est hyperbolique (au sens de Gromov)
    - G a une fonction de Dehn linéaire
    - G a une fonction de Dehn sous-quadratique.
  • Jeudi 28 janvier à 14h, Sébastien Gouëzel :
    SLd(Z) est non distordu dans SLd(R) si d≥3, d'après Lubotzky-Mozes-Raghunathan.
    Résumé : Si u est une matrice unipotente distincte de l'identité dans SL2(Z), on sait que uk est de longueur exponentielle (en k) dans SL2(Z) mais de longueur linéaire dans SL2(R). On dit que SL2(Z) est "exponentiellement distordu" dans SL2(R). On a présenté un résultat de Lubotzky-Mozes-Raghunathan (1993) disant que ce phénomène disparaît en rang supérieur : si n>2, la longueur des mots sur SLn(Z) et la distance riemannienne dans SLn(R) sont équivalentes.
  • Jeudi 14 janvier 2010 à 14h: séance introductive, par Yves de Cornulier.
    Il s'est agi d'une petite introduction au sujet, notamment à la notion de fonction de Dehn. Ceux qui n'ont pas pu y assister peuvent se référer aux notes de cours suivantes (archives), notamment le chapitre 11 sur les fonctions de Dehn, et le chapitre 3 pour la notion de quasi-isométrie.

    Nous vous invitons à venir nombreux! Pour tout renseignement, suggestion, ou si vous souhaitez être tenu(e) informé(e) sur le groupe de travail, contactez l'un des organisateurs :
    Yves de Cornulier, Sébastien Gouëzel, François Maucourant (les liens pointent vers les pages personnelles respectives).

    Bibliographie

  • L'article de Robert Young (sur arXiv)
  • Rapide exposé du problème par Tim Riley ici
  • Survey sur les fonctions de Dehn par Martin Bridson : The geometry of the word problem (Bridson, Salamon, Editors, "Invitations to Geometry and Topology", Oxf. Grad. Texts in Math. 7, Oxford Univ. Press)
  • Notes de cours (2007) par Y. C.: Large scale connectedness in geometric group theory (pdf), notamment les paragraphes 11 et 12 sur la fonction de Dehn.
  • Le livre de Gromov (1993) "Asymptotic invariants of infinite groups" (notamment les paragraphes 3.I. et 5.A.). Pour retrouver cet ouvrage qui occupe entièrement un volume de proceedings , la référence est: G. Niblo, M. Roller, Geometric group theory, vol. 2, London Math Soc. Lecture Note Ser. 182, Cambridge Univ. Press, 1993.
  • L'article de Taback; version arXiv, ou la version publiée (accès restreint), Geom Dedicata 102(1) (2003), 179-195.