Les mercredis/jeudis à 18h30 en salle R à l'ENS, recommandé par votre médecin

Jeudi 18 Juin : "Magnétisme* orbital** et transport parallèle***"., par Arnaud Raoux
Si vous avez toujours rêvé de rencontrer un magnétiseur, si vous lisez fréquemment les prédictions orbitales de l'horoscope, ou si votre rêve récurrent est de vous transporter dans des univers parallèles via une porte des étoiles, alors ce séminaire est peut-être (pas) pour vous !
Les électrons liés à des atomes "tournent" autour du noyau, et cette propriété rend les atomes magnétiques. Mais si jamais les atomes s'allient les uns aux autres, alors les électrons se délocalisent sur tout le réseau cristallin, et ont des mouvements nettement plus complexes. Que se passe-t-il en présence d'un champ magnétique ? Une bonne partie de l'exposé s'intéressera à cette question. Évidemment, la mécanique quantique sera au rendez-vous, les champs magnétiques également, mais aussi des liens intéressants entre réseau cristallin et géométrie différentielle: la fameuse "zone de Brillouin" des physiciens.
Je parlerai également d'un classement élégant des isolants, utilisant les propriétés de symétrie des réseaux.
Un grand tournoi sera organisé à cette occasion, pour lequel il faudra être très attentif pendant l'exposé : trouver le nombre de phrases mathématiquement rigoureuses de l'exposé. Ne vous inquiétez pas, vous aurez assez de vos dix doigts.
Quelques références pour bien appréhender le domaine :
* http://www.science-et-magie.com/sm50/sm0014magn.htm
** http://www.astro.qc.ca/
*** http://www.journaldemontreal.com/2015/05/17/road-trip-dans-un-univers-parallele

Jeudi 4 Juin : "Comment faire face à l'embarras du choix : l'agrégation de prévisions"., par Pierre Gaillard
Imaginez que vous jouiez à la roulette avec quelques camarades au casino. Invité de marque, on vous laisse le privilège de miser en dernier à chaque fois. A chaque manche de jeu, les autres joueurs misent, et vous voyez combien ils misent. Puis, c'est à vous de miser. Fort de l'information acquise, vous pouvez même développer une stratégie panachée consistant, par exemple, à miser un peu ici, un peu là et beaucoup sur une troisième case. Enfin, la bille est jetée. Une fois cette dernière immobilisée, les joueurs empochent leurs gains éventuels, sous votre oeil attentif : vous savez combien empoche chaque joueur. La soirée consiste en une succession d'une cinquantaine de manches. Ce simple avantage de jouer en dernier vous permet-il ou non de développer une stratégie telle que, à coup sûr, vous ne fassiez pas beaucoup moins bien que le meilleur joueur ?
Quand on dit à coup sûr, c'est en un sens très fort, qui autorise même les autres joueurs à tricher (en usant d'une bille téléguidée), tant que les gains sont distribués conformément aux règles (qui sont les mêmes pour tous les joueurs). La réponse à une telle question pourrait bien s'avérer surprenante...
Il existe divers problèmes de ce type, que je vous présenterai. J'apporterai bien sûr des éléments de réponse à un certain nombre d'entre eux, et vous indiquerai dans quelles situations concrètes les mathématiques impliquées sont employées.

Jeudi 21 Mai : "Votre cortex visuel héberge une représentation de groupe de Lie"., par Alexandre Afgoustidis
Le cortex visuel primaire est situé chez nous à l'arrière de la tête ; c'est un des relais fondamentaux pour le traitement de l'information visuelle, et une des aires les mieux connues du cerveau. Chez de très nombreuses espèces (et cela inclut les primates), l'arrangement des "spécialités" des neurones y a une géométrie remarquable, et des expériences récentes ont montré qu'il y a une propriété statistique des singularités de cet arrangement (la "densité de pinwheels") dont la valeur expérimentale est mystérieusement commune à toutes les espèces. Cette valeur expérimentale est 3.14 et des poussières...
Le but de mon exposé est de vous parler du rôle des représentations de groupes pour comprendre ce résultat expérimental. Je vous expliquerai comment un champ aléatoire qui reproduit très bien la "géométrie corticale" est caché dans (presque) toute représentation unitaire irréductible (de dimension infinie) du groupe des déplacements, et comment le résultat sur la statistique des singularités se rattache aux questions de probabilités sur les ensembles nodaux de processus aléatoires. Ce sera aussi une bonne occasion de parler de ce que fait le cortex visuel bien sûr (une transformée en ondelettes) et de la place des représentations de groupes de Lie dans l'histoire de la physique (quantique).

Jeudi 9 Avril : Vraisemblance auto-pénalisante (si, si c'est vrai) pour la sélection du nombre de ruptures dans la segmentation bidimensionnelle utilisée pour l'analyse des données Hi-C, par Vincent Brault
L'un des objectifs des statisticiens est de pouvoir expliquer un phénomène aléatoire ; pour cela, nous utilisons souvent la vraisemblance, c'est-à-dire une fonction prenant un modèle et les observations et renvoyant la probabilité que ces dernières aient été simulées suivant le modèle. Toutefois, cette fonction de vraisemblance augmente généralement avec la complexité et il a été prouvé dans beaucoup de cas que sélectionner le modèle maximisant la vraisemblance revient à prendre un modèle très éloigné du modèle initial. Durant mon post-doc, j'ai étudié le modèle proposé par Levy et al. (2014) pour étudier des données biologiques et j'ai pu montrer que la vraisemblance n'augmentait pas avec la complexité. J'en ai obtenu un estimateur consistant du nombre de ruptures. Dans cette exposé, je commencerai par expliquer ce qu'est la vraisemblance et pourquoi le modèle qui la maximise est souvent trop complexe. Ensuite, j'expliquerai en quoi le modèle que j'ai étudié est différent. Tout ceci sera illustré de films et de nombreux exemples.

Jeudi 26 Mars : Plus grand déplacement dans une marche aléatoire branchante., par Bastien Mallein
Une marche aléatoire branchante est un processus dans lequel des particules se déplacent et se reproduisent. Ce processus modélise l'évolution au cours du temps. On montrera, à l'aide de la décomposition épinale et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz que le plus grand déplacement dans la marche aléatoire branchante est constitué d'un premier terme linéaire, d'une correction logarithmique et de fluctuations en probabilité.

Jeudi 12 Mars : Le logiciel de preuves formelles Coq., par Guillaume Claret
Le logiciel Coq fournit un langage informatique permettant d'énoncer des théorèmes et d'écrire leurs preuves. Ces preuves sont ensuite formellement vérifiées par ordinateur, assurant ainsi un taux d'erreur minimal comparé à la relecture manuelle. Un exemple de développement est la vérification complète du théorème de Feit-Thomson sur la classification des groupes finis. Nous présenterons le système logique utilisé par Coq et nous ferons une démonstration d'utilisation du logiciel. Nous présenterons enfin la méthode de preuve par réflexion, où l'on écrit un algorithme certifié permettant de résoudre par calcul une classe de théorèmes donnée. Cette méthode représente un espoir pour aller au-delà des techniques de preuve par papier.

Jeudi 5 Mars : Modélisation des dynamiques lentes/rapides d'une communauté proies-prédateurs., par Manon Costa
Nous nous intéressons à prendre en compte les différences d’échelle d’évolution qui peuvent exister dans des communautés proies-prédateurs telles que les communautés arbres-insectes. Nous étudierons ces communautés sous les deux échelles suivantes : le nombre de prédateurs tend vers l’infini, puis la masse des prédateurs infiniment faible par rapport à celle de leurs proies. En particulier nous donnerons des résultats précis sur le comportement stationnaire de la communauté dans ces différentes échelles.

Mercredi 11 Février : Rigidité en géométrie différentielle, illustrations sur quelques questions de géométrie conforme., par Vincent Pecastaing
Dans cet exposé, je vais parler de géométries, et je vais en présenter certaines dans lesquelles on observe des phénomènes que les géomètres qualifient de rigides. Naturellement, une partie non négligeable de la discussion va s'articuler autour de la définition que l'on prend ici du mot "géométrie". Je vais notamment m'attarder sur le point de vue de F. Klein ("une géométrie est la donnée d'une action transitive d'un groupe") et j'essairai de vulgariser l'idée de rigidité formalisée par M. Gromov à la fin des années 1980. J'illustrerai alors tout cela en terminant sur un domaine proche de mon travail, sur le terrain de la géométrie riemannienne (l'étude des espaces euclidiens courbés). Je vous présenterai quelques beaux résultats de rigidité qui traitent des transformations conformes des variétés riemanniennes et si le temps le permet, je vous expliquerai les questions auxquelles je m'intéresse sur des thématiques analogues en géométrie de Lorentz.

Jeudi 29 Janvier : Modèles intégrables, comment les mathématiques ne vont sûrement pas changer votre vie (celle de vos enfants peut-être), par Pierre Tarrago
On parle ici de probabilités sur des modèles très simples. Un modèle intégrable est un modèle de physique statistique qui possède tellement de particularités que l'on peut complètement le résoudre. Il possède aussi tellement de particularités qu'on ne le trouvera jamais dans la vrai vie. Il devient donc pour ces deux raisons un objet passionnant pour les mathématiciens, et je vais montrer dans cet exposé un exemple de tel modèle intégrable : le remplissage de cases avec des nombres, ou tableaux de Young. Ce modèle est très intéressant parce qu'il peut servir de jeu d'éveil à votre future/jeune progéniture, modulo sa connaissance de l'ordre sur les entiers. Je vais également tenter de montrer les mathématiques qui existent derrière : au début ces mathématiques sont également pour la plupart vraiment très simples, ce qui en fera un exposé à suivre si vous êtes fatigué ou bloqué dans votre thèse. Si j'ai le temps je montrerai accessoirement pourquoi ces outils mathématiques vous aideront à communiquer en 2100."

Jeudi 15 Janvier : Théorie de Hodge, applications harmoniques et groupes de lacets, par Jeremy Daniel
La théorie de Hodge s'attache à décrire les relations entre certains invariants topologiques et géométriques simples sur une variété complexe. Au début des années 90, une théorie de Hodge dite non-abélienne apparaît pour décrire les liens entre des invariants plus compliqués : les représentations du groupe fondamental de la variété, pour le côté topologique, et les fibrés de Higgs, pour le côté géométrique. De même que dans le cas classique, les objets harmoniques jouent un rôle intermédiaire entre les deux types d'invariants. Dans cet exposé, j'expliquerai certains aspects de la théorie de Hodge classique et leur analogue dans la théorie non-abélienne. De façon surprenante, des variétés de dimension infinie, construits à partir de groupes de lacets, interviendront naturellement dans ces questions.

Jeudi 4 Décembre : Comment compter les domaines nodaux?, par Corentin Léna
Les fonctions propres du laplacien décrivent en dimension 2 les solutions stationnaires au problème des membranes vibrantes. Par analogie avec cordes vibrantes, qui présentent des noeuds et des ventres, on définit en dimension 2, puis en dimension quelconque, les ensembles et les domaines nodaux. Je présenterai les résultats classiques (du début du XXe) de Courant et Pleijel sur le nombre de domaines nodaux. Au passage, nous reverrons quelques propriétés fondamentales des valeurs propres du laplacien: formule de Courant-Fisher, loi de Weyl et inégalité de Faber-Krahn. J'expliquerai la généralisation de ces résultats par P. Bérad et D. Meyer au cas des variétés en dimension quelconque, et j'évoquerai si le temps le permet quelques résultats récents et/ou quelques problèmes ouverts.

Jeudi 20 Novembre : Modélisation en biologie, comment les mathématiques vont changer la vie, par Jonhatan Desponds
Je présenterai les outils mathématiques les plus utilisés par les physiciens pour la modélisation en biologie et quelques exemples d’application. Je donnerai d’abord une vue d’ensemble de la « biologie théorique » puis je présenterai plus particulièrement les méthodes de dynamiques de population ainsi que quelques modèles classiques utilisés en génétique ou écologie. Je présenterai enfin plusieurs applications tirées de mes recherches. Je décrirai donc comment l’étude d’équations de Langevin (équations différentielles stochastiques) ou de réseaux dynamiques aléatoires permet de comprendre la structure du système immunitaire chez les mammifères.

Jeudi 6 Novembre : Étude formelle des langages de programmation, par Gabriel Scherer
Je présenterai un outil de base, le système de typage, quelques exemples (lambda-calcul simplement typé, système F, ML), et quelques propriétés de ces systèmes : sûreté, principalité, stabilité par transformations de programme. Nous discuterons des compromis entre expressivité et complexité pour l'utilisateur. Si le temps le permet, je donnerai une preuve de sûreté d'un de ces systèmes, par une technique dite de "réalisabilité", en passant par des machines abstraites.

Jeudi 23 Octobre 2014 : Problèmes de reconstruction de phase, par Irène Waldspurger
Un problème de « reconstruction de phase » consiste à tenter de reconstruire un élément inconnu x d'un espace vectoriel complexe E à partir de la donnée des |Li(x)|, les Li étant des formes linéaires (connues) sur E et la notation |.| désignant le module complexe usuel. Je présenterai quelques résultats variés, obtenus au cours des soixante dernières années, au sujet de ce type de problèmes. Je parlerai d'abord du problème de reconstruction de phase le plus connu et le mieux compris, celui où on essaie de reconstruire une fonction à support compact à partir du module de sa transformée de Fourier. Je parlerai ensuite du problème qui consiste à déterminer, lorsque E est de dimension finie, le nombre minimal de formes linéaires à partir duquel la reconstruction est possible. J'évoquerai probablement le cas où les Li sont des formes linéaires choisies aléatoirement. Enfin, je présenterai les deux grandes familles d'algorithmes utilisés pour résoudre numériquement de tels problèmes.