\section{Mécanique du point}

\begin{enumerate}
\item Définition:
\begin{enumerate}
\item Qu'est qu'un référentiel galiléen:
\begin{enumerate}
	\item Un référentiel est la donnée d'un repère et d'une horloge dans laquelle on décrit le mouvement d'un point.
	\item Un référentiel galiléen vérifie le principe d'inertie i.e.: 
	en l'absence d'influence extérieure, tout corps ponctuel perdure dans un mouvement rectiligne uniforme
\end{enumerate}
\item Principe Fondamental de la Dynamique:
\begin{align}
	\frac{d}{dt} \vec{p} = \sum \vec{F}_{ext} \, .
\end{align}
où $\vec{p} $ est l'impulsion, dans notre cas $\vec{p} = m \vec{v}$.
Le plus souvent cette équation se traduit par:
\begin{align}
	m \dot{\vec{v}} = m \ddot{\vec{r}} = \sum \vec{F}_{ext} \, .
\end{align}
avec $\vec{r}$ a position du point.
\end{enumerate}

\item Chute libre:  
\begin{align}
	m  \ddot \vec{ r } &= - m g \vec{e}_z
		\\
	\vec{ r }(t) &= - g \vec{e}_z \frac{t^2}{2}	 + \vec{v}_0 t + \vec{r}_0  
		\\
	z(t) &= - g \frac{t^2}{2} + \left. \dot{z} \right\vert_0 t + z_0 
		\\
	x(t) &=  \left. \dot{x} \right\vert_0 t + x_0 	
\end{align}

\item Ressort non-amorti:
\begin{enumerate}
\item Système masse ressort dans le référentiel du laboratoire
\begin{align}
	m  \ddot {\vec{x}} &= m \vec{g} + \vec{R}_n - k ( x-x_0 ) \vec{e}_x
		\\
	\ddot {x} &= - \frac{k}{m} ( x-x_0 )
		\\
	X &= x - x_0 \quad ; \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}
		\\
	\ddot { X } & = - \omega_0^2 X
\end{align}
\item Analyse dimensionnelle pour $[\omega_0]$:
\begin{align}
	[\omega_0]^2 = \frac{[k]}{[m]} = M^{-1} \frac{M L T^{-2}}{L} = T^{-2}
\end{align}
\item Solution:
\begin{align}
	X(t) &= A \cos ( \omega_0 t + \phi ) 
		\\
	X(t) &= B_1 \cos ( \omega_0 t ) +  B_2 \sin ( \omega_0 t )	 
\end{align}	
\item Résolution: 
\begin{align}
	X_0 &= X(t=0)  \quad ; \quad \dot{X}(t=0) = 0 
		\\
	X(t) &= X_0 \cos( \omega t )
\end{align}
\item Tracer la trajectoire
\item Calcul de l'énergie potentielle:
\begin{align}
	\dot { X } \ddot { X } & = \dot { X }  \left(- \omega_0^2 X \right)
		\\
	\frac{d}{d t} \left( \frac{1}{2}\dot{X}^2 \right) & = \frac{1}{2}\left(- \omega_0^2 \right) \dot{X^2 }
		\\
	\frac{1}{2}\dot{X}^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2 X^2 & = e_{tot}
		\\
	E_c = \frac{1}{2} m \dot{X}^2 \quad &; \quad E_p = \frac{1}{2} m \omega_0^2 X^2 = \frac{1}{2} k X^2 
\end{align}
\item Tracer l'énergie potentiel, décrire le mouvement.
\item Parler du portrait du phase.
\end{enumerate}

\item Ressort amorti
\begin{enumerate}
	\item Force d'amortissement: 
		\begin{align}
			f = -m \lambda \dot{x} \vec{e}_x
		\end{align}
	\item Résolution:
		\begin{align}
			m  \ddot { x } \vec{e}_x &= -m \lambda \dot{x} \vec{e}_x - k ( x-x_0 ) \vec{e}_x			
				\\
			\ddot { X } &= -\lambda \dot{X} - \omega^2 X 
				\\
			& \ddot { X } + \lambda \dot{X} + \omega^2 X = 0
		\end{align}
	\item Analyse dimensionnelle:
		\begin{align}
			[\lambda] = \frac{[\ddot{X}]}{[\dot{X}]} = T^{-1}	
		\end{align}
	\item Solutions (cf. maths):
		\begin{align}
			\Omega_0 &= \omega_0 \sqrt{ 1 - \left(\frac{\lambda}{2 \omega_0}\right)^2 }
				\\			
			\lambda & \leq 2 \omega_0
				\\
			X(t) &= X_0 e^{ - \lambda t } \cos ( \Omega_0 t )
		\end{align}
	\item Évolution de l'énergie		
		\begin{align}
			\dot{X} \left( \ddot { X } + \lambda \dot{X} + \omega^2 X \right) & = 0
				\\
			\frac{1}{2} \left( \dot{X} \right)+ \frac{1}{2} \omega^2 X^2 &=  e_{tot} -  \int \lambda \dot{X}^2 d t
		\end{align}
\end{enumerate}

\item Pendule simple
\begin{enumerate}
	\item Tracer le schéma du problème
	\item Explication de la base polaire
	\item Dérivée des vecteur de bases:
	\item Produit vectoriel 
	\item Moment d'une force et moment cinétique
	\begin{align}
		\vec{\mathscr{M}}_{O} (\vec{F}) &= \vec{OM} \wedge \vec{F}
			\\
		\vec{L}_O (M) &= \vec{OM} \wedge \vec{p} = \vec{OM} \wedge ( m \vec{v} )
	\end{align}
	\item Théorème du moment cinétique:
	\begin{align}
		 \vec{OM} \wedge ( m \dot{\vec{v}} ) = \vec{OM} \wedge \left( \sum \vec{F}_{ext} \right)
		 	\\
		 \vec{OM} \wedge ( m \dot{\vec{v}} ) = \left( \sum \vec{\mathscr{M}}_{O} (\vec{F}_{ext}) \right)
	\end{align}
	\begin{align}
		\frac{d}{d t} \vec{L}_O (M) = \frac{d}{d t} \left( \vec{OM} \wedge ( m \vec{v} ) \right)
			=  \frac{d}{d t} ( \vec{OM} ) \wedge ( m \vec{v} ) + \vec{OM} \wedge \frac{d}{d t} ( m \vec{v} ) 
	\end{align}
	\begin{align}
		\frac{d}{d t} \vec{L}_O (M) = %\frac{d}{d t} ( \vec{OM} ) \wedge ( m \vec{v} ) + 
			\left( \sum \vec{\mathscr{M}}_{O} (\vec{F}_{ext}) \right)
	\end{align}		
	\item Équations du mouvement du pendule:
		\begin{align}
			\ddot{ \theta } = -\omega_0^2 \sin ( \theta ) 
				\quad ; \quad \omega_0^2 =\frac{ g }{ \ell }
		\end{align}
	\item DL du sinus:
		\begin{align}
			\sin( \epsilon ) = \epsilon - \frac{1}{6} \epsilon^3 + ...
		\end{align}
	\item Oscillateur harmonique:
	\item Formule de l'énergie:
		\begin{align}
			\ddot{ \theta } \dot{\theta} + \omega_0^2 \sin ( \theta ) \dot{\theta}= 0 
				\\
			\frac{1}{2}\dot{\theta}^2 - \omega_0^2 \cos ( \theta ) = K
		\end{align}
	\item Séparation de variable:
		\begin{align}
			\dot{\theta}^2 &= 2K + 2\omega_0^2 \cos ( \theta ) 
				\\
			\frac{d \theta}{ d t } &= \sqrt{ 2K + 2\omega_0^2 \cos ( \theta )  }
				\\
			T = 4 \int_0^{T/4} dt  &= 4 \int_{0}^{\theta_M} \left( \sqrt{ 2K + 2\omega_0^2 \cos ( \theta )  } \right) ^{-1}
		\end{align}		
\end{enumerate}

\end{enumerate}

