Questions de la semaine 9

Unicité de l’argument

Vrai ou faux ?

Tout nombre complexe non nul admet un unique argument.

Unicité du module

Vrai ou faux ?

Tout nombre complexe admet un unique module.

Placer un argument

Pour quelles valeurs de \(\theta\) le nombre complexe \(e^{\mathbf{i}\theta}\) a-t-il une partie réelle négative ?

• \(0\)
• \(-2\pi\)
• \(2014\pi\)
• \(2015\pi\)
• \(-\pi\)
• \(\frac{5\pi}{4}\)
• \(\frac{5\pi}{3}\)
• \(-\frac{7\pi}{6}\)

Arguments de moins un

Combien d’éléments de l’ensemble \(\{\pi,2\pi,3\pi,4\pi,\dots,2015\pi\}\) sont-ils des arguments de \(-1\) ?

Existence d’un angle

Vrai ou faux ?

Il existe \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos(\theta) = \frac{3334}{5555}\) et \(\sin(\theta) = \frac{4443}{5555}\).

Conjugué d’un complexe de module un

Vrai ou faux ?

Pour tout nombre complexe \(z\) de module \(1\), on a \(\overline{z} = z^{-1}\).

Argument d’un produit

Vrai ou faux ?

Soient \(z_1,z_2\) deux nombres complexes. Si \(1\) est un argument de \(z_1\) et si \(2\) est un argument de \(z_2\), alors \(3\) est un argument de \(z_1 z_2\).

Somme de complexes de même argument

Vrai ou faux ?

Pour tous \(\theta \in \mathbb{R}\) et \((z_1,z_2) \in \mathbb{C}^2\), si \(\theta\) est un argument de \(z_1\) et de \(z_2\) alors \(\theta\) est un argument de \(z_1 + z_2\).

Module d’une exponentielle imaginaire

Vrai ou faux ?

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), on a \(\left|e^{\mathbf{i}\theta}\right| = 1\).

Racines de l’unité

Combien de solutions l’équation \(z^{2014} = z^{11}\) d’inconnue \(z \in \mathbb{C}\) possède-t-elle ?