Questions de la semaine 8

Racines carrées de moins i

Lequel ou lesquels de ces nombres sont-ils des racines carrées de \(-\mathbf{i}\) ?

• \(1\)
• \(\frac{-1-\mathbf{i}}{\sqrt{2}}\)
• \(-\mathbf{i}\)
• \(\frac{1+\mathbf{i}}{\sqrt{2}}\)
• \(\mathbf{i}\)
• \(1-\mathbf{i}\)
• \(-1\)
• aucun

Complexes admettant une racine carrée

Lesquels des nombres suivants admettent-ils au moins une racine carrée dans \(\mathbb{C}\) ?

• \(-2014\)
• \(-\mathbf{i}\)
• \(\sqrt{2}\)
• \(-\sqrt{2014}\)
• \(0\)
• \(-1\)
• \(\pi + 10\mathbf{i}\)
• \((20 + 15\mathbf{i})^{13}\)
• aucun

Vrai ou faux avec racines carrées

Lesquelles de ces assertions sont-elles justes pour tout \((z,w) \in \mathbb{C}^2\) ?

• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(z\) est une racine carrée de \(-w\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(w\) est une racine carrée de \(z\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(\overline{z}\) est une racine carrée de \(w\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(z\) est une racine carrée de \(\overline{w}\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(-z\) est une racine carrée de \(w\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(-\overline{z}\) est une racine carrée de \(w\)
• \(z\) est une racine carrée de \(w\) si et seulement si \(\overline{z}\) est une racine carrée de \(\overline{w}\)
• aucune

Deux racines carrées

Soient \(z_1,z_2,w_1,w_2\) quatre nombres complexes tels que :

• \(z_1\) est une racine carrée de \(w_1\),
• \(z_2\) est une racine carrée de \(w_2\).

Que peut-on affirmer ?

• si \(z_1 = z_2\), alors \(w_1 = w_2\)
• \(z_1 + z_2\) est racine carrée de \(w_1 + w_2\)
• \(z_1z_2\) est racine carrée de \(w_1w_2\)
• si \(w_1 = w_2\), alors \(z_1 = z_2\)
• aucune de ces assertions

Équation du second degré

Soient \(z_1,z_2\) les deux solutions de l’équation \(z^2 + (3-\mathbf{i}) z + (2 + 11 \mathbf{i}) = 0\) d’inconnue \(z\) dans \(\mathbb{C}\).

Déterminer la valeur de \(|z_1|^2+|z_2|^2\).

Module constant

À quel objet géométrique l’ensemble \(\{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}\) s’identifie-t-il ?

• un segment
• un point
• un triangle
• un couple de points
• un cercle
• un icosaèdre régulier
• une pyramide
• une droite

Triangle équilatéral

Soit \((ABC)\) un triangle équilatéral du plan affine euclidien réel identifié à \(\mathbb{C}\). On suppose que \(z_A = -1 + \mathbf{i}\sqrt{3},\, z_B = -1 - \mathbf{i}\sqrt{3}\) et que \(\Re(z_C) \geq 0\).

Déterminer la valeur de \(z_C\). (Il est conseillé de faire un croquis)

Intersection d’un cercle et d’une demi-droite

En général, l’intersection d’un cercle et d’une demi-droite dans le plan peut être :

• vide
• un point
• deux points
• trois points
• un ensemble de deux mille quatorze points
• un cercle
• une demi-droite
• un triangle

Droites dans le plan complexe

Lesquels de ces ensembles de nombres complexes sont-ils représentés par une droite du plan ?

• l’ensemble \(\{z \in \mathbb{C} : \Re(z) = 0\}\) des imaginaires purs
• l’ensemble des nombres complexes de module égal à 2
• l’ensemble des réels positifs
• l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1
• l’ensemble des nombres complexes \(x+\mathbf{i}y\) tels que \(y - x = 3\)

Éléments absorbants

Soit \(a \in \mathbb{C}\) tel que pour tout \(z \in \mathbb{C}\), on a \(a \times z = a\).

Prouver que \(a = 0\).