Questions de la semaine 6

Suite récurrente particulière

On considère la suite définie par \(u_0=u_1=123456789\) et \(\forall n\in \mathbb{N},\; u_{n+2} = 3\,u_{n+1} - 2\,u_n\).

Quelle est la valeur de \(u_{2014}\) ?

Suite récurrente particulière (bis)

Vrai ou faux ?

Pour toute suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), si \(u_0 = u_1 = 123456789\) alors \(\forall n \in \mathbb{N},\; u_n = 123456789\).

Module du conjugué

Vrai ou faux ? \[\forall z\in \mathbb{C},\; \left|z\right|=\left|\overline{z}\right|\]

Conjugué d’un quotient

Vrai ou faux ? \[\forall (z_1,z_2) \in \mathbb{C}\times\mathbb{C}^*, \; \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]

Conjugué d’un produit

Lequelles de ces expressions correspondent au conjugué de \(\dfrac{(1+2\mathbf{i})(3-4\mathbf{i})}{6\mathbf{i} - 5}\) ?

• \(\dfrac{(1-2\mathbf{i})(3+4\mathbf{i})}{-6\mathbf{i} - 5}\)
• \(\dfrac{(2\mathbf{i}-1)(3+4\mathbf{i})}{6\mathbf{i} + 5}\)
• \(\dfrac{(-1-2\mathbf{i})(-3+4\mathbf{i})}{-6\mathbf{i} - 5}\)
• \(\dfrac{(1-2\mathbf{i})(3+4\mathbf{i})}{6\mathbf{i} - 5}\)
• \(\dfrac{(1-2\mathbf{i})(3+4\mathbf{i})}{6\mathbf{i} + 5}\)
• aucune de ces expressions
• la question n’a pas de sens

Racine carrée de moins quatre

Quelle est la valeur de \(\sqrt{-4}\) ?

• \(-4\mathbf{i}\)
• \(4\mathbf{i}\)
• \(2\mathbf{i}\)
• \(-2\mathbf{i}\)
• \(2\)
• \(-2\)
• la question n’a pas de sens
• autre réponse

Racines carrées de moins 4

Quelles sont les racines carrées de \(-4\) dans \(\mathbb{C}\) ?

• \(-4\mathbf{i}\)
• \(2\mathbf{i}\)
• \(2\)
• \(4\mathbf{i}\)
• \(-2\)
• \(-2\mathbf{i}\)
• la question n’a pas de sens
• autre réponse

Racines carrées d’un complexe

Soient \(u\) et \(v\) les racines carrées de \(8-6\mathbf{i}\) dans \(\mathbb{C}\).

Quelle est la valeur de \(|u-v|^2\) ?

Cheval blanc avec racine carrée

Soient \(u\) et \(v\) les racines carrées de \(2014\,\mathbf{i} - 23^{10}\) dans \(\mathbb{C}\).

Quelle est la partie imaginaire de \(u^2 + v^2\) ?

Équation du second degré.

Résoudre l’équation \((z-\mathbf{i})^2 = 24-10\mathbf{i}\) d’inconnue \(z\) dans \(\mathbb{C}\).

Quelle est la solution de module minimal ?