Questions de la semaine 4

Julien Bureaux

9 octobre 2014

Un peu de calcul

Déterminer les réels \(a,b,c\) tels que pour tout \(x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}\), \[\frac{9x^2 - 64 x + 2125}{(x-3)^3} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{(x-3)^2} + \frac{c}{(x-3)^3}.\]

Feuilles A7 dans une feuille A2

Au maximum, combien de feuilles au format A7 peut-on découper dans une feuille au format A2 ?

Produit de longueurs de feuilles

Pour tout \(n \in \{0,1,2,3\}\), on note \(L_n\) la longueur d’une feuille au format A\(n\) et \(\ell_n\)sa largeur.

Quelle serait la valeur idéale de \(\displaystyle \frac{L_0 \times L_1 \times L_2 \times L_3}{\ell_0 \times \ell_1 \times \ell_2 \times \ell_3}\) ?

Nombre de solutions d’une équation

En général, combien de solutions une équation peut-elle avoir ?

Équation de degré 5

Quelles sont les solutions de l’équation \(Z^5 + 35 Z^3 + 155 Z^2 = 15 Z^4 + 36 Z + 140\) d’inconnue \(Z\) dans l’ensemble \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ?

Second degré avec 2014

Combien de solutions distinctes l’équation \(\frac{1}{4} t^2 - 3^{2014} t + 9^{2014} = 1\) d’inconnue \(t\) dans \(\mathbb{R}\) possède-t-elle ?

Encore du second degré avec 2014

Combien de solutions distinctes l’équation \(\frac{1}{4} t^2 - 3^{2014} t + 9^{2014} = 0\) d’inconnue \(t\) dans \(\mathbb{R}\) possède-t-elle ?

Fibonacci après 1 an

On considère le modèle des lapins de Fibonacci avec pour tout \(m \in \mathbb{N}\),\[\begin{cases}A(m+1) = A(m) + B(m)\\ B(m+1) = A(m)\end{cases}.\] On suppose que \(A(0)=0\) et \(B(0) = 1\). Quelle est la valeur de \(A(12)+B(12)\), le nombre total de lapins après un an ?

Fibonacci avec 0 lapins

On considère le modèle des lapins de Fibonacci avec pour tout \(m \in \mathbb{N}\), \[\begin{cases}A(m+1) = A(m) + B(m)\\ B(m+1) = A(m)\end{cases}.\] On suppose que \(A(0)=0\) et \(B(0) = 0\). Quelle est la valeur de \(A(12)+B(12)\), le nombre de lapins après un an ?

Fibonacci avec 1 adulte

On considère le modèle des lapins de Fibonacci avec pour tout \(m \in \mathbb{N}\), \[\begin{cases}A(m+1) = A(m) + B(m)\\ B(m+1) = A(m)\end{cases}.\] On suppose que \(A(0)=1\) et \(B(0) = 0\). Quelle est la valeur de \(A(12)+B(12)\), le nombre total de lapins après un an ?