Questions de la semaine 2

Un peu de calcul

On considère les deux fonctions réelles \(f,g\) définies pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2\, x + 3\) et \(g(x) = 2\,x^2 + 3\,x -1\). Calculez les composées \(f(g(x))\) et \(g(f(x))\) puis développez \(f(g(x))-g(f(x))\) sous la forme \(a\, x^4 + b\, x^3 + c\, x^2 + d\, x + e\) où \(a,b,c,d,e\) sont des éléments de \(\mathbb{Z}\).

Implication, formes équivalentes

Sélectionnez la ou les assertions équivalentes à \(A \implies B\).

• \(\text{non}(A) \text{ ou } B\)
• \(\text{non}(B) \implies \text{non}(A)\)
• \(\text{non}(A) \implies \text{non}(B)\)
• \(B \text{ ou non}(A)\)

Négation de l’équivalence

Quelle est la négation de \(A \iff B\) ?
Rappelons que l’équivalence s’exprime en termes d’implications.

• \((A \text{ et non}(B)) \text{ ou } (B \text{ et non}(A))\)
• \(\text{non}(A) \iff \text{non}(B)\)
• \((A \implies \text{non}(B)) \text{ ou } (B \implies \text{non}(A))\)
• \((A \implies \text{non}(B)) \text{ et } (B \implies \text{non}(A))\)
• \((A \text{ ou non}(B)) \text{ et } (B \text{ ou non}(A))\)

Racine carrée de 2

Le nombre \(\sqrt{2}\) appartient à …

• \(\emptyset\)
• \(\mathbb{Z}\)
• \(\mathbb{Q}\)
• \(\mathbb{R}\)
• \(\mathbb{Z} \cup \{\sqrt{2}\}\)
• \(\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\}\)

Prouver l’absurde

Supposons que \(a = \sqrt{1+\sqrt{2}}\) est un nombre rationnel. Le produit de deux rationnels étant rationnel, on a donc \(a \times a \in \mathbb{Q}\), c’est à dire \(1+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). On en déduit par soustraction que \(1+\sqrt{2}-1 \in \mathbb{Q}\), c’est à dire \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). Mais ceci entre en contradiction avec le fait que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) (démontré en cours).

Que peut-on déduire de ce raisonnement ?

• \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\) n’est pas rationnel
• \(\sqrt{2}\) est rationnel
• \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel
• \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\) est rationnel

Quantificateur existentiel en français

Quelles expressions correspondent à un quantificateur \(\exists\) ?

• pour tout
• quel que soit
• tous
• n’importe quel
• aucun
• chacun
• il existe
• on peut en trouver
• au moins un

Quantificateur universel en français

Quelles phrases expriment un quantificateur \(\forall\) ?

• Tous les chats sont gris.
• Quel que soit le pays, c’est interdit.
• Un multiple de 2014 est toujours un nombre pair.
• Personne ne le comprend.
• Il existe un mammifère qui pond des œufs !
• Au moins une de ces réponses est fausse.
• Certaines voitures ont des roues.
• Ils ne sont pas tous attentifs…

Injectivité fonction carré

Sélectionnez le ou les énoncés justes.

• \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, (x^2 = y^2 \implies x =y)\)
• \(\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, (x = y \implies x^2 =y^2)\)
• \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, (x^2 = y^2 \text{ et } x \neq y)\)
• \(\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, (x = y \text{ et } x^2 \neq y^2)\)

Surjectivité de la fonction carré

Sélectionnez la ou les assertions justes.

• \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y = x^2\)
• \(\forall y \in \mathbb{R}_+, \exists x \in \mathbb{R}, y = x^2\)
• \(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, y = x^2\)
• \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y = x^2\)

Négation des quantificateurs

Quelle est la négation de \(\exists f, \forall F, (F \subset E \implies (\exists x \in E, f(x) = F))\) ?

• \(\forall f, \exists F, (F \subset E \text{ et } (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
• \(\forall f, \exists F, (F \not\subset E \text{ et } (\forall x \notin E, f(x) \neq F))\)
• \(\forall f, \exists F, (F \not\subset E \implies (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
• \(\exists f, \forall F, ((\forall x \notin E, f(x) \neq F) \implies F \not\subset E)\)
• \(\exists f, \forall F, (F \subset E \text{ et } (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)
• \(\exists f, \forall F, (F \subset E \implies (\forall x \in E, f(x) \neq F))\)