Questions de la semaine 10

Somme d’exponentielles

Vrai ou faux ?

L’égalité \(e^{i\theta_1} + e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) est vraie pour tout couple \((\theta_1,\theta_2) \in \mathbb{R}^2\).

Linéarisation

Déterminez \((a,b,c) \in \mathbb{R}^3\) tels que, pour tout \(x\) réel, \[8\, (\cos(x))^4 = a \cos(4x) + b\cos(2x) + c.\]

Quelle est la valeur de \(a+b\) ?

Orthogonalité de cosinus et sinus

Calculez la valeur de \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2014\,t)\sin(11\,t)\,dt\).

Polynôme

Vrai ou faux ?

\((X^{2014}+\sqrt{2})(X^{11} - \pi)\) est un élément de \(\mathbb{R}[X]\) de degré \(2025\).

Identité remarquable

Les polynômes \((1-X)^3\) et \(1 - 3X + 3X^2 -X^3\) sont

• … égaux.
• … différents.
• … de coefficient dominant égal à 1.
• … conjugués dans \(\mathbb{C}\).
• … de module 3.
• Ce ne sont pas des polynômes.
• Aucune de ces réponses n’est juste.

Statut de l’indéterminée

Vrai ou faux ?

Dans la notation \(\mathbb{C}[X]\) pour l’ensemble des polynômes à coefficients complexes, la lettre \(X\) désigne un nombre complexe.

Coefficient d’un produit

Quel est le coefficient de degré \(2020\) du polynôme \(\left(1 + X + X^2 + \dots + X^{2013} + X^{2014}\right)\left(1 +X + X^2 + \dots + X^{10} + X^{11}\right)\) ?

Somme de degrés

Vrai ou faux ?

Pour tout \((P,Q) \in \mathbb{C}[X]^2\), si \(P\) est de degré \(p\) et si \(Q\) est de degré \(q\), alors \(P + Q\) est de degré \(p+q\).

Division euclidienne

Vrai ou faux ?

Si \(A = 3X^4 - 3X^3 + 4X^2 + 5X - 12\) et \(B = X^2-X+1\), alors \(Q = 3X^2+1\) et \(R = 6X - 13\) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).

Degré du reste

Vrai ou faux ?

Si \(A = 3X^4 + 3X^3 - 5X - 7\) et \(B = X+1\), alors \(Q = 3X^3-7\) et \(R = 2X\) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).