Cinquante exemples

Donnez un exemple de chacune des cinquante situations suivantes et démontrez qu’il convient.

1. Ensembles \(A,B\) tels que \(A\) est inclus dans \(B\) mais \(B\) n’est pas inclus dans \(A\).

2. Ensembles \(A,B,C\) tels que \(A\) est inclus dans \(B \cup C\) mais \(A\) n’est pas inclus dans \(B\) et \(A\) n’est pas inclus dans \(C\).

3. Ensembles \(A,B,C\) tels que \(A\cap B\) est inclus dans \(C\) mais \(A\) n’est pas inclus dans \(C\) et \(B\) n’est pas inclus dans \(C\).

4. Ensembles \(A,B,C\) tels que \(A\) est inclus dans \(B\) et \(B\) est inclus dans \(C\), mais \(C \setminus A\) n’est pas inclus dans \(C \setminus B\).

5. Assertions \(A,B\) telles que \(A\) implique \(B\) mais \(B\) n’implique pas \(A\).

6. Assertion \(A(x)\) telle qu’il existe \(x \in \mathbb{R}\) vérifiant \(A(x)\).

7. Assertion \(A(x)\) telle que tout \(x \in \mathbb{R}\) vérifie \(A(x)\).

8. Assertion \(A(x)\) telle qu’il existe \(x \in \mathbb{R}\) vérifiant \(A(x)\), sans que \(A(x)\) ne soit vérifiée pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

9. Assertions \(A(n),B(n)\) telles que tout \(n \in \mathbb{N}\) vérifie \(A(n)\) ou \(B(n)\), sans que ni \(A(n)\) ni \(B(n)\) ne soit vérifiée pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

10. Assertion \(P(n)\) telle que \(P(n)\) implique \(P(n+1)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), mais qu’on puisse trouver un \(n \in \mathbb{N}\) pour lequel \(P(n)\) n’est pas vérifiée.

11. Nombres \(a,b\) irrationnels tels que \(a+b\) est un nombre rationnel non nul.

12. Équation pour laquelle il n’y a pas unicité des solutions.

13. Équation ayant une infinité de solutions dans \(\mathbb{N}\).

14. Équation qui admet exactement \(5\) solutions dans \(\mathbb{R}\).

15. Équation pour laquelle il n’existe pas de solution dans \(\mathbb{C}\).

16. Équation du second degré à coefficients réels ayant une seule solution réelle.

17. Nombres réels \(a,b\) tels que \(a + b = 20\) et \(a \times b = 14\).

18. Équation de récurrence linéaire d’ordre \(2\) dont la suite \(u_n = (2014)^n\) est solution.

19. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle qui tend vers \(+\infty\).

20. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle qui tend vers \(-\infty\).

21. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle qui tend vers \(0\).

22. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle qui tend vers \(2014\).

23. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle qui n’a pas de limite.

24. Suite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle dont tous les termes sont dans \(\mathbb{Q}\).

25. Suites \((u_n), (v_n)\) telles que \(u_0=v_0\) et \(u_1=v_1\) mais qu’il existe \(n \in \mathbb{N}\) pour lequel \(u_n \neq v_n\).

26. Nombre complexe qui n’a pas de racine carrée dans \(\mathbb{R}\).

27. Nombre complexe ayant une seule racine carrée dans \(\mathbb{C}\).

28. Nombres complexes \(u,v\) distincts mais qui sont des racines carrées d’un même nombre.

29. Nombre complexe dont \(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\) est une racine carrée.

30. Nombre complexe non réel dont les deux racines carrées ont leurs parties réelles et imaginaires dans \(\mathbb{Z}\).

31. Nombre complexe non réel dont le module est \(2014\).

32. Nombre complexe dont \(2014\) est un argument.

33. Nombre complexe \(z\) différent de \(1\) et tel que \(z^3 = 1\).

34. Nombres complexes \(u,v\) de modules différents de \(1\) tels que le module de \(u\times v\) est \(2014\).

35. Nombres complexes \(u,v\) non nuls tels que le module de \(u+v\) est \(2014\).

36. Nombres complexes \(u,v\) différents de \(1\) tels que \(2014\) est un argument de \(u\times v\).

37. Nombres complexes \(a,b,c,d\) qui correspondent aux sommets d’un carré dans le plan.

38. Polynôme de degré \(2014\) dont le coefficient d’ordre \(12\) est \(7\).

39. Polynômes non constants \(P,Q\) tels que le degré de \(P\times Q\) est \(2014\).

40. Polynômes \(P,Q\) de degrés au moins \(2014\) tels que le degré de \(P+Q\) est \(12\).

41. Polynôme \(P\) dont le reste dans la division euclidienne par \(X^3+7X-2\) est \(X^2+1\).

42. Polynôme \(P\) dont le quotient dans la division euclidienne par \(X^3+7X-2\) est \(X^2+1\).

43. Polynôme \(P\) tel que \(P\times Q = P\) pour tout polynôme \(Q\)

44. Polynôme \(P\) tel que \(P(Q) = Q\) pour tout polynôme \(Q\).

45. Polynôme \(P\) tel que \(P(Q) = P\) pour tout polynôme \(Q\).

46. Polynôme \(P\) tels que \(P(X+1) - P(X) = X^3\).

47. Polynôme dont les racines sont \(1,2,3,4\) et \(5\).

48. Polynôme ayant une racine simple, une racine double et une racine triple.

49. Polynôme \(P\) ayant une infinité de racines.

50. Polynôme \(P\) de degré \(5\) tel que les coefficients de \(P'\) de degré \(0,1,2,3,4\) sont tous égaux à \(1\).