Indications

3.

1. Quels sont les entiers pairs entre \(0\) et \(2n\) ? Quels sont les entiers impairs entre \(0\) et \(2n\) ? Utiliser la propriété d’additivité des sommes.

2. Se ramener à des sommes usuelles par linéarité. On trouve après simplifications : \[\begin{gather*} \sum_{i=0}^n (2i)^2 = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}3,\\ \sum_{j=0}^{n-1} (2j+1)^2 = \dfrac{2(n-1)n(2n-1)}3 + 2(n-1)n + n,\\ \sum_{k=0}^{2n} k^2 = \dfrac{n(2n+1)(4n+1)}{3} \end{gather*}\] puis on développe pour vérifier l’égalité.

5. Pour la première égalité, développer \((a-b)\,a^k \,b^{n-1-k}\) et remarquer un téléscopage. La deuxième égalité est un simple changement d’indice, à expliciter (retournement).

Remarques.

• Il s’agit d’une généralisation de la formule usuelle \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \ldots\) (en prenant \(a = q\) et \(b = 1\)).
• On peut aussi prouver ces formules par récurrence.

7.

• Quel est le nombre de facteurs dans ces produits ?

• Quel est l’indice muet ?

• Se ramener à des sommes usuelles pour les trois derniers.

• On obtient \(q^{2^{n+1}-1}\) pour le dernier (attention aux deux niveaux d’exposants).

8.

1. 1. C’est précisément la définition d’une factorielle, laquelle ?

   2. Expliciter le produit et vérifier qu’on obtient \(2^n \, n!\)

2. En regroupant les facteurs de (i) selon leur parité, le troisième produit s’exprime comme quotient des deux précédents.

3. À l’aide des questions précédentes, on obtient : \(\dfrac{(2^n\, n!)^2}{(2n+1)!}\)