Cours mathématiques
Voici mes premiers textes mathématiques, à visée purement pédagogique.
Je souhaite en effet consacrer ma vie à l'enseignement.
Je suis très sensible à la qualité de mes écrits tant sur le fond que sur la forme
(une virgule qui manque, un espace de trop, un schéma qui manque dans une démonstration...),
donc n'hésitez pas à me communiquer vos critiques acerbes et remarques explosives ;
je ne serais que trop enchanté de les prendre en compte pour la suite.
Ici un lien pour les amoureux des courbes et surfaces, particulièrement
remarquable par ses inombrables illustrations et animations. Qui veut voir le retournement de la sphère ?
Qui veut comprendre comment construire une bouteille de Klein à l'aide de deux rubans de Möbius ?
La plupart des cours qui suivent se veulent accessibles dès la première année de classe préparatoire.
J'encourage donc vivement les taupins courageux qui souhaiteraient compléter leur cours
ou découvrir de nouvelles choses à jeter un oeil à ce qui suit.
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Introduction aux espaces quotients (7 février 2005)
On présente l'un des concepts fondamentaux de l'algèbre :
le quotientage des structures algébriques (groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres).
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Polynômes à une nombre quelconque d'intérminées (29 octobre 2005)
Pour ne plus se poser de questions bridantes sur Qu'est-ce qu'un polynôme ?
ou Qu'ai-je le droit de faire avec ?.
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Familles sommables (18 novembre 2004)
Pour ne plus se poser de questions métaphysiques sur ce qu'est une somme sur de gros ensembles (typiquement infinis),
et pour clarifier les bidouilles autorisées avec les signes Σ.
Suivent quelques applications : exponentielle, fonctions analytiques...
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Dualité en dimension finie (24 octobre 2005)
Un exposé de la théorie de la dualité en dimension finie,
dont le point de vue central est l'identification d'un espace vectoriel à son bidual.
Sont abordés en vrac : bases duale et préduale, bidual et chevron de dualité, orthogonalité, applications transposées...
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Invariants de similitude et réduction de Frobenius (21 octobre 2005)
On étudie ici les endomorphismes semblables à des matrices compagnons (dits cycliques)
ainsi qu'une description originale des classes de similitude en termes de polynômes minimaux.
Quelques applications suivent : réduction de Jordan (en facile), similitude et extensons de corps,
caractérisation des endomorphismes cycliques à l'aide de leur commutant, rang et degré du polynôme minimal.
Très largement inspiré de l'annexe B du Gourdon d'algèbre.
Nécessite déjà de bonnes bases en réduction ainsi que quelques notions d'ortogonalité duale (cf cours précédent).
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Quatre démonstrations du théorème de Cayley-Hamilton (25 octobre 2005)
Comme l'indique le titre...
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Inversions (7 octobre 2005)
Une brève présentation de l'inversion dans le plan complexe, suivie de deux applications (dont le cas d'égalité de Ptolémée).
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Une identité classique sur le polynôme caractéristique (25 octobre 2005)
Nous savons tous, en notant χ(M) le polynôme caractéristique d'une matrice M, que χ(AB)=χ(BA).
Mais sommes-nous autant à l'aise quand il s'agit de le démontrer ?
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Dérivations de Kähler (29 avril 2009)
On se demande ici à quel point la formule de la dérivée d'un produit caractérise la dérivation
usuelle des applications dérivables et en particulier si l'on peut prolonger cette dernière
sur les applications seulement continues. L'angle d'attaque est purement algébrique.
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Rétrospective axiomatique sur les produits scalaires (15 septembre 2010)
Lorsque l'on s'intéresse aux produits à valeurs scalaires, on est amené à dériver à partir d'axiomes de
"non-dégénérescence" ou de "caractère défini positif" des inégalités (Buniakowski-Cauchy-Schwarz
et Minkowsky pour ne citer que les plus célèbres) ainsi que des cas d'égalités. On peut se
demander dans quelle mesure ces (cas d')égalités caractérisent en retour les propriétés du produit
à valeurs scalaires utilisé. Le résultat est plutôt satisfaisant.
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Invariants dans l'algèbre d'un monoïde (26 janvier 2012)
Savez-vous ce que sont un groupe et un espace vectoriel ? Connaissez-vous les caractérisations d'un
projecteur ? Alors bienvenu dans ce modeste texte dont nous espérons qu'il permettra à son lecteur
d'apercevoir la variété de la faune mathématique que sa simple machette linéaire lui rendra accessible.
Je remercie Jérôme Dégot de m'avoir permis d'intervenir deux heures dans sa HX3
à la Toussiure pendant qu'il profitait des pistes enneigées.
Voici à présent différentes notes du cours d'algèbre 2 de Marc Rosso que j'ai suivi en 2005.
J'ai passé beaucoup de temps à les reprendre dans le détails,
à remanier le plan du cours lorsque je croyais améliorer la clarté d'exposition,
et à détailler les démonstrations.
A l'exception d'un paragraphe sur la résolubilité du groupe de Galois et d'une partie sur les représentations d'algèbres,
ces notes devraient pouvoir fournir un solide outil de travail pour assimiler l'excellent (mais rapide...) cours de Marc Rosso.
Les quelques points de détails que je n'ai pas encore eu le temps de reprendre sont indiqués par des ?????,
afin de signaler au lecteur qu'il ne faut s'attarder sur ces passages où résident encore pour moi des points obscurs.
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