\documentclass[a4paper]{article} % Erreur numéro 1 : Il manquait le \documentclass
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\usepackage[french]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsthm}

\newtheorem{Thm}{Théorème} % Erreur numéro 5 : Nous avions omis de déclarer l'environnement de théorème {Thm}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator\sinc{sinc}

\title{La fonction sinus cardinal}
\author{}
\date{\today} % Erreur numéro 2 : LaTeX étant sensible à la casse, on ne peut pas écrire « \Today » au lieu de « \today » !

\begin{document}

\maketitle

La fonction «\,sinus cardinal\,», notée $\sinc$, est définie sur $\CC$ par :
\[ \sinc(x) = \left\{ \begin{array}{lcl}
\sin(x)/x & \quad & \text{si $x \not= 0$ ;} \\ % Erreur numéro 3 : Dans un environnement {array}, les retours à la ligne doivent être indiqués explicitement
1 & \quad & \text{si $x=0$.} \end{array} \right. \] % Erreur numéro 4 : Tout \left doit être accompagné d'un \right : éventuellement « \right. » s'il n'y a rien à afficher comme ici

\begin{Thm}
La fonction $\sinc$ est holomorphe sur $\CC$, et on a pour tout $x\in\CC$ :
\[ \sinc(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} .\] % Erreur numéro 6 : Il manquait une accolade fermante après le numérateur du \frac
\end{Thm}

\end{document} % Erreur numéro 7 : On avait oublié le \end{document} !
