Thèmes de recherches

Mes recherches portent sur deux thèmes distincts, sur lesquels j'ai travaillé successivement: la théorie des groupes et la théorie de la transmission de l'information.

Théorie des groupes

Mes travaux sur la théorie des groupes concernaient essentiellement l'étude
des représentations des groupes réductifs p-adiques

Démonstration du théorème d'unicité des modèles de Whittaker. 

Je démontre dans cet article une propriété d'unicité pour les représentations admissibles irréductible d'un groupe réductif sur un corps p-adique, ainsi qu'un propriété d'hérédité pour les représentations induites depuis des sous-groupes paraboliques. Pour cela, j'ai développé la théorie des distributions sur les espaces topologiques localement compact totalement discontinus.

Classification des représentations de GSp(4,k), en utilisant des modèles de
Whittaker dégénérés.

Décomposition spectrale des représentations lisses. 
 
 J'ai défini un notion de décomposition spectrale pour ces représentations, ramenant l'étude de celles-ci à celle des faisceaux sur le dual du groupe. J'ai développé certains exemples, obtenant des résultats sur les représentations lisses des groupes unipotents.
 
Calcul du caractère de la représentation de Steinberg.
 
 Je montre que le caractère de  Steinberg groupe réductif  p-adique n'est jamais nul sur les éléments semi-simples, en analogie avec le cas des groupes réductifs sur un corps fini.

Intégrabilité locale des caractères du groupe GL(n,k).

• Représentations de GL(n,k) où k est un corps p-adique.  (Sém. Bourbaki 1981/1982)

J'ai  donné une synthèse des travaux de Bernstein et Zelevinskii sur la classification de ces représentations. J'ai été amené à préciser certains aspect de cette théorie, j'ai montré en particulier que les résultats de Bernstein et Zelevinskii s'accordaient avec les conjectures de Langlands.

• Décomposition des séries principales non ramifiées.
 
 J'ai donné une classification des composants irréductibles  des séries principales régulières des groupes déployés et j'ai caractérisé celles qui sont tempérées, de carré intégrable...

Décomposition des séries principales ramifiées (en particulier pour le groupe GSp(4,k)).

Dans cet article, j'étudie les représentation irréductibles non ramifiées des groupes réductifs sur un corps local. Dans le cas de GSp(4,k), je les détermine toutes et j'étudie certaines de leurs propriétés.
Cet article, publié en 1988, a donné lieu récemment à des corrections mineures, à la suite de plusieurs remarques récentes.

Théorie de l'information

Mon travail porte  actuellement sur les codes correcteurs d'erreurs et la cryptographie

Les codes correcteurs d'erreurs


Dimension des codes de Goppa

J'ai d'abord amélioré la borne inférieure pour la dimension des codes de Goppa, construits avec une courbe et un diviseur sur cette courbe. J'ai montré qu'elle était exacte dans certaines conditions.

Poids des duaux des codes BCH

Ensuite, j'ai étudié les poids des duaux des codes BCH. Ces codes et leurs duaux sont importants en théorie des codes: ils sont cycliques et sont parmi les premiers à avoir été développé. Néanmoins ils posent encore de nombreux problèmes.  J'ai utilisé le fait que ce sont des codes de Goppa particuliers.

J'ai d'abord montré qu'une conjecture de Sloane sur une borne pour la distance minimale était inexacte. Cette étude a été faite à l'aide de minoration de certaines sommes exponentielles binaires sous des hypothèses diverses.  J'ai utilisé une démonstration analogue à celle de Weil pour montrer que sa borne pour le nombre des points des courbes sur un corps fini était la meilleure possible.
J'ai d'autre part achevé avec un élève, Eric Férard, une étude plus poussée sur une borne supérieure de ces sommes exponentielles. Avec des techniques de géométrie algébrique, nous avons amélioré beaucoup de ces bornes.
Enfin, j'ai  trouvé parmi les duaux des codes BCH des codes meilleurs que tous les autres codes de même longueur et même dimension améliorant ainsi les tables des distances minimales.

Variétés sur un corps fini et codes

A la suite de V. Goppa et de Y. Manin qui ont montré comment construire  des codes à l'aide de variétés algébriques, j'ai cherché à appliquer  leurs méthodes avec des variétés  ayant  beaucoup de points pour obtenir des codes ayant de bons paramètres. C'est la recherche de ces variétés qui m'a conduit à m'intéresser aux surfaces de Deligne-Lusztig. J'ai complètement déterminé leur fonction zêta, j'ai  calculé le diviseur canonique et  j'en ai déduit des propriétés géométriques.
J'ai ensuite construit des codes à partir de ces surfaces à l'aide de variétés de drapeaux.
J'ai pu ensuite appliquer certaines de mes idées avec l'aide d'un élève en thèse, Mr F. Edoukou, sur les codes correcteurs d'erreurs construit à partir  de variétés quadriques ou hermitiennes, construisant ainsi des bons codes.

Poids des codes de Reed-Muller généralisés

Enfin j'ai étudié la détermination des poids des codes de Reed-Muller généralisés, en collaboration avec un étudiant en thèse, Mr A. Sboui. Nous avons obtenu en particulier les premiers poids.


La cryptographie

Le problème

Les fonctions booléennes sur l'espace F2m interviennent aussi bien dans la théorie des codes correcteurs d'erreurs (codes de Reed-Muller) qu'en cryptographie (systèmes de chiffrement à clef secrète).

Dans ces deux cas, les propriétés des systèmes ainsi construits  dépendent entre autres de la non-linéarité d'une fonction booléenne, c'est à dire de sa distance (au sens de Hamming) aux fonctions booléennes affines. Il s'agit là en effet d'un  paramètre cryptographique essentiel: il commande la résistance aux attaques différentielles et linéaires  de certains cryptosystèmes, comme par exemple le DES.
On a montré qu'il était nécessaire de pouvoir disposer de fonctions booléennes ayant une grande non-linéarité.

De plus, la non-linéarité est liée au rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller (un des plus vieux problèmes ouverts de la théorie des codes). Ce rayon est un paramètre important des codes, en particulier en vue du décodage, ou dans l'optique de l'utilisation du code en vue de la compression de documents.

Il est essentiel, mais très difficile,  de chercher les fonctions qui ont  une non linéarité maximale (les fonctions "courbes'' qui n'existent que si m est pair) ou  presque maximale. D'abord en cryptographie, afin d'augmenter le nombre de fonctions disponibles, dans le but de mieux lutter contre les attaques possibles, et en théorie des codes dans le cas de m impair, pour pouvoir approcher la valeur du rayon de recouvrement des codes de Reed et Muller.


Les résultats

J'ai mis en parallèle un résultat d'analyse harmonique sur les polynômes aléatoires avec un vieux problème de cryptographie, ce qui m'a permis d'en déduire bon nombre de conséquences nouvelles.

Le premier  résultat est que presque toute les fonctions booléennes à m variables ont une non-linéarité assez proche de la valeur maximale, résultat que j'ai démontré dans divers cadres. Plus précisémént, j'ai démontré que presque toute les fonctions booléennes à m variables ont une non-linéarité voisine de  2m-1-2 m/2-1(2m log2)1/2, alors que la non-linéarité est bornée par  0 (fonctions affines) et 2m-1-2 m/2-1 (fonctions courbes). J'ai démontré un résultat analogue sur un critère voisin de la ``somme des carrés'', relié au critère de propagation, pour les fonctions booléennes. Avec une étudiante en thèse, Stéphanie Dib, nous avons pu évaluer la non-linéarité d'ordre 2 (distance aux fonctions de degré au plus 2) des fonctions booléennes.

J'ai étudié des fonctions explicites, construites à l'aide de la trace de polynômes sur F2m. Cela m'a mené à la considération  des fonctions liées à des courbes hyperelliptiques, pour lesquelles j'ai pu obtenir une évaluation précise de la non-linéarité.

J'ai également obtenu des majorations explicites du nombre de fonctions booléennes ayant une non-linéarité donnée.

Enfin, j'ai trouvé un critére portant sur le degré et le nombre de variables pour que des fonctions vectorielles ne soient pas presque parfaitement non-linéaires (APN) au moyen d'une amélioration des bornes de Lang et Weil. J'ai borné le nombre de variables pour un degré donné et je peux envisager d'obtenir par le calcul informatique de telles fonctions. D'autre part ce critère a permis de trouver un certain nombre de cas où les fonctions booléennes données par des polynômes n'étaient pas APN pour une infinité de corps finis, selon la conjecture que nous avons énoncée avec Y. Aubry et G. McGuire: un polynôme ne peut être APN pour une infinité de corps que si il est (CCZ) équivalent à un monôme d'exposant 2d+1 ou 4d-2d+1 .