Thèmes de recherches
Mes recherches portent sur deux thèmes distincts, sur lesquels j'ai travaillé successivement: la théorie des groupes et la théorie de la transmission de l'information.
Théorie des groupes
Mes travaux sur la théorie des groupes concernaient essentiellement l'étude
des représentations des groupes réductifs p-adiques.
• Démonstration du théorème d'unicité des modèles de Whittaker.
Je démontre dans cet article une propriété d'unicité pour les
représentations admissibles irréductible d'un groupe
réductif sur un corps p-adique, ainsi qu'un
propriété d'hérédité pour les
représentations induites depuis des sous-groupes paraboliques. Pour cela, j'ai développé la théorie des distributions sur les espaces topologiques localement compact totalement discontinus.
• Classification des représentations de GSp(4,k), en utilisant des modèles de
Whittaker dégénérés.
• Décomposition spectrale des représentations lisses.
J'ai défini un notion de décomposition spectrale
pour ces représentations, ramenant l'étude de celles-ci
à celle des faisceaux sur le dual du groupe. J'ai
développé certains exemples, obtenant des
résultats sur les représentations lisses des groupes
unipotents.
• Calcul du caractère de la représentation de Steinberg.
Je montre que le caractère de Steinberg groupe
réductif p-adique n'est jamais nul sur les
éléments semi-simples, en analogie avec le cas des
groupes réductifs sur un corps fini.
• Intégrabilité locale des caractères du groupe GL(n,k).
• Représentations de GL(n,k) où k est un corps p-adique. (Sém. Bourbaki 1981/1982)
J'ai donné une synthèse des travaux de
Bernstein et Zelevinskii sur la classification de ces
représentations. J'ai été amené à
préciser certains aspect de cette théorie, j'ai
montré en particulier que les résultats de Bernstein et
Zelevinskii s'accordaient avec les conjectures de Langlands.
• Décomposition des séries principales non ramifiées.
J'ai donné une classification des composants
irréductibles des séries principales
régulières des groupes déployés et j'ai
caractérisé celles qui sont tempérées, de
carré intégrable...
• Décomposition des séries principales ramifiées (en particulier pour le groupe GSp(4,k)).
Dans cet article, j'étudie les représentation
irréductibles non ramifiées des groupes réductifs
sur un corps local. Dans le cas de GSp(4,k), je les détermine
toutes et j'étudie certaines de leurs propriétés.
Cet article, publié en 1988, a donné lieu
récemment à des corrections mineures, à la suite
de plusieurs remarques récentes.
Théorie de l'information
Mon travail porte actuellement sur les codes correcteurs d'erreurs et la cryptographie.
Les codes correcteurs d'erreurs
• Dimension des codes de Goppa
J'ai d'abord amélioré la borne inférieure pour la dimension des codes
de Goppa, construits avec une courbe et un diviseur sur cette courbe.
J'ai montré qu'elle était exacte dans certaines
conditions.
• Poids des duaux des codes BCH
Ensuite, j'ai étudié les poids des duaux des codes
BCH. Ces codes et leurs duaux sont importants en théorie des
codes: ils sont cycliques et sont parmi les premiers à avoir
été développé. Néanmoins ils posent
encore de nombreux problèmes. J'ai utilisé le fait
que ce sont des codes de Goppa particuliers.
J'ai d'abord montré qu'une conjecture de Sloane
sur une borne pour la distance minimale était inexacte. Cette
étude a été faite à l'aide de minoration de
certaines sommes exponentielles binaires sous des hypothèses
diverses. J'ai utilisé une démonstration analogue à celle de Weil pour montrer que sa borne pour le nombre des points des courbes sur un corps fini était la meilleure possible.
J'ai d'autre part achevé avec un élève, Eric
Férard, une
étude plus poussée sur une borne supérieure de ces
sommes exponentielles. Avec des techniques de géométrie
algébrique, nous avons amélioré beaucoup de ces
bornes.
Enfin, j'ai trouvé parmi les duaux des codes BCH des codes
meilleurs que tous les autres codes de même longueur et
même dimension améliorant ainsi les tables des distances minimales.
• Variétés sur un corps fini et codes
A la suite de V. Goppa et de Y. Manin qui ont montré comment
construire des codes à l'aide de variétés
algébriques, j'ai cherché à appliquer leurs
méthodes avec des variétés ayant
beaucoup de points pour obtenir des codes ayant de bons
paramètres. C'est la recherche de ces variétés qui
m'a conduit à m'intéresser aux surfaces de Deligne-Lusztig. J'ai complètement déterminé leur fonction
zêta, j'ai calculé le diviseur canonique et
j'en ai déduit des propriétés géométriques.
J'ai ensuite construit des codes à partir de ces surfaces à l'aide de variétés de drapeaux.
J'ai pu ensuite appliquer certaines de mes idées avec l'aide
d'un élève en thèse, Mr F. Edoukou, sur les codes
correcteurs d'erreurs construit à partir de variétés quadriques ou hermitiennes, construisant ainsi des bons codes.
• Poids des codes de Reed-Muller généralisés
Enfin j'ai étudié la détermination des poids des
codes de Reed-Muller généralisés, en collaboration
avec un étudiant en thèse, Mr A. Sboui. Nous avons obtenu
en particulier les premiers poids.
La cryptographie
Le problème
Les fonctions booléennes sur l'espace F2m
interviennent aussi bien dans la théorie des codes correcteurs
d'erreurs (codes de Reed-Muller) qu'en cryptographie (systèmes
de chiffrement à clef secrète).
Dans ces deux cas, les propriétés des systèmes
ainsi construits dépendent entre autres de la non-linéarité d'une fonction booléenne,
c'est à dire de sa distance (au sens de Hamming) aux fonctions
booléennes affines. Il s'agit là en effet d'un
paramètre
cryptographique essentiel: il commande la résistance aux
attaques
différentielles et linéaires de certains
cryptosystèmes, comme par exemple le DES.
On a montré qu'il était nécessaire de pouvoir
disposer de fonctions booléennes ayant une grande
non-linéarité.
De plus, la non-linéarité est liée au rayon de
recouvrement des codes de Reed-Muller (un des plus vieux
problèmes ouverts de la théorie des codes). Ce rayon est
un paramètre important des codes, en particulier en vue du
décodage, ou dans l'optique de l'utilisation du code en vue de
la compression de documents.
Il est essentiel, mais très difficile, de chercher les
fonctions qui ont une non linéarité maximale (les
fonctions "courbes'' qui
n'existent que si m est pair) ou presque maximale. D'abord en
cryptographie, afin d'augmenter le nombre de fonctions disponibles, dans
le but de mieux lutter contre les attaques possibles, et en théorie des codes dans le cas de m impair, pour pouvoir approcher la valeur du rayon de recouvrement des codes de Reed et Muller.
Les résultats
J'ai mis en
parallèle un résultat d'analyse harmonique sur les polynômes aléatoires avec un
vieux problème de cryptographie, ce qui m'a permis d'en
déduire bon nombre de conséquences nouvelles.
Le premier résultat est que presque toute les fonctions
booléennes à m variables ont une
non-linéarité assez proche de la valeur maximale,
résultat que j'ai démontré dans divers cadres. Plus précisémént, j'ai
démontré que presque toute les fonctions
booléennes à m variables ont une
non-linéarité voisine de 2m-1-2 m/2-1(2m log2)1/2, alors que la
non-linéarité est bornée par 0 (fonctions
affines) et 2m-1-2 m/2-1 (fonctions courbes).
J'ai démontré un résultat analogue sur un
critère voisin de la ``somme des carrés'', relié
au critère de
propagation, pour les fonctions booléennes. Avec une
étudiante en thèse, Stéphanie Dib, nous avons pu
évaluer la non-linéarité d'ordre 2 (distance aux
fonctions de degré au plus 2) des fonctions booléennes.
J'ai étudié des fonctions explicites, construites
à l'aide de la trace de polynômes sur F2m. Cela m'a
mené
à la considération des fonctions liées à
des courbes hyperelliptiques, pour lesquelles j'ai pu obtenir une
évaluation précise de la
non-linéarité.
J'ai également obtenu des majorations explicites du nombre de fonctions booléennes ayant une non-linéarité donnée.
Enfin, j'ai trouvé un critére portant sur le degré et le nombre de variables pour que des fonctions
vectorielles ne soient pas presque parfaitement non-linéaires (APN)
au moyen d'une amélioration des bornes de Lang et Weil. J'ai
borné le nombre de variables pour un degré donné
et je
peux envisager d'obtenir par le calcul informatique de telles
fonctions. D'autre part ce critère a permis de trouver un
certain nombre de cas
où les fonctions booléennes données par des
polynômes n'étaient pas APN pour une infinité de
corps finis, selon la conjecture que nous avons énoncée
avec Y. Aubry et G. McGuire: un polynôme ne peut être APN
pour une infinité de corps que si il est (CCZ) équivalent
à un monôme d'exposant 2d+1 ou 4d-2d+1 .