LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=#Exercice 1 :taylor(exp(x),x=0);taylor(exp(x),x=1,7);taylor(cosh(x),x=0,3);taylor(cosh(x),x=1,8);taylor(cos(sin(x)),x=0,5);taylor(cos(sin(x)),x=1,3);taylor((x+2)/(x^2-1),x=0);taylor((x+2)/(x^2-1),x=1);#la fraction a un p\303\264le en 1, donc elle n'admet pas de d\303\251veloppement de Taylor.taylor(sqrt(2*x^2-3*x+1),x=0);taylor(sqrt(2*x^2-3*x+1),x=1);#La fonction n'est pas d\303\251rivable en 1 car 2*x^2-3*x+1 s'annule \303\240 l'ordre 1, donc elle n'admet pas non plus de d\303\251veloppement de Taylor.series((x+2)/(x^2-1),x=1);series(sqrt(2*x^2-3*x+1),x=1);f:=((x+1)/(x-2))^x-a*(1-b/x);series(f,x=infinity);g:=exp(x^2*sqrt(x^2+1));series(g,x=infinity);#Exercice 2 :s:=series(tan(x),x=0);P:=convert(s,polynom);series(1-x+x^3,x=0,6);#Si on veut garder comme information que c'est un d\303\251veloppement limit\303\251 \303\240 l'ordre 6 :series(1-x+x^3+x^6,x=0,6);#Il suffit de calculer le d\303\251veloppement limit\303\251 au voisinage de 1 \303\240 un ordre plus grand que le degr\303\251 du polyn\303\264me :P:=X^7-12*X^5+X^2+1;P2:=convert(series(P,X=1,8),polynom);expand(P2-P);#Exercice 3 :f:=1/(1-exp(x^2)*exp(x));series(f,x=1,3);series(f,x=-1,3);#On reconnait 1/0 dans le premier terme, Maple donne un r\303\251sultat faux. C'est encore un probl\303\250me de simplification !series(simplify(f),x=-1);f:= tan(tanh(sin(x))) + tanh(sin(tan(x))) + sin(tan(tanh(x))) - tan(sin(tanh(x))) - sin(tanh(tan(x))) - tanh(tan(sin(x))) - tan(sinh(tanh(x))) - sinh(tanh(tan(x))) - tanh(tan(sinh(x))) + tan(tanh(sinh(x))) + tanh(sinh(tan(x))) + sinh(tan(tanh(x))):g:= sinh(tanh(sin(x))) + tanh(sin(sinh(x))) + sin(sinh(tanh(x))) - sinh(sin(tanh(x))) - sin(tanh(sinh(x))) - tanh(sinh(sin(x))) - tan(sinh(sin(x))) - sinh(sin(tan(x))) - sin(tan(sinh(x))) + tan(sin(sinh(x))) + sin(sinh(tan(x))) + sinh(tan(sin(x))):precision:=16;Digits:=10;sf:=series(f,x=0,precision);sg:=series(g,x=0,precision);s1:=series(eval(sf,x=sg),x=0,166);s2:=series(eval(sg,x=sf),x=0,166);limite:=evalf(coeff(s1,x,165)/coeff(s2,x,165));#Exercice 3 :f:=x^2+tan(x);df:=diff(f,x);d2f:=diff(df,x);p:=expand(eval(d2f,tan(x)=u));#p est strictement croissant sur R, donc s'y annule une fois et une seule, et donc f'' aussi.phi:=solve(p,u)[1];evalf(eval(df,[x=arctan(phi)]));#Le minimum de f' est strictement positif, donc f est un C^infini diff\303\251omorphisme de ]-Pi/2,Pi/2[ dans R d'apr\303\250s ses limites.#Sa r\303\251ciproque est donc aussi de classe C^infini et admet donc un d\303\251veloppement limit\303\251 \303\240 tout ordre en 0.h:='h';devh:=add(h[i]*x^i,i=0..6);#f(h(x))-x=0series(eval(f,x=devh)-x,x=0,7);#h(f(x))-x=0series(eval(devh,x=f)-x,x=0,7);#Il vaut mieux utiliser le deuxi\303\250me syst\303\250me car il est lin\303\251aire.eqs:={seq(coeff(%,x,i),i=0..6)};sol:=solve(eqs);assign(sol);devh;#Exercice 5 :f:=x^2+x^5;g:='g';plot(f,x=-1..0.6);#On montre que f est un diff\303\251omorphisme croissant sur ]0,alpha[, un diff\303\251omorphisme d\303\251croissant sur ]beta,0[. Il suffit de choisir alpha et beta tels que f(alpha)=f(beta), les autres propri\303\251t\303\251s suivent imm\303\251diatement.#g v\303\251rifie : g(x)^2+g(x)^5=x^2+x^5#x^2+x^5 est \303\251quivalent \303\240 x^2.#g(x)^2+g(x)^5 est \303\251quivalent \303\240 g(x)^2.#Le signe de x est l'oppos\303\251 de celui de g(x).#g(x)^2 est \303\251quivalent \303\240 x^2, donc g(x) est \303\251quivalent \303\240 -x, et m\303\252me g(x)=-x+O(x^2) car g(x)^5=O(x^2) et x^5=O(x^2).#On a g(x)=-x*sqrt(1+x^3-g(x)^5/x^2).exprg:=-x*sqrt(1+x^3-g^5/x^2);g1:=series(-x+x^2,x=0,2);for i from 1 to 5 do
g1:=series(eval(exprg,g=g1),x=0,17);
end do;#Exercice 6 :#y''=(x^2+lambda^2)*y. Par r\303\251currence sur n, on va montrer que y est de classe C^n. C'est vrai pour n=0 par d\303\251finition d'une solution de l'\303\251quation. De plus si y est C^n, alors y'' est C^n donc y est C^(n+2).
#Donc y est de classe C^infini.#y admet donc un d\303\251veloppement limit\303\251 en 0 \303\240 tout ordre.#y''(0)=lambda^2*y(0)=lambda^2.#y'''=2*x*y+(x^2+lambda^2)*y' donc y'''(0)=lambda^2*y'(0)=0.#Comme y et y'' admettent un DL \303\240 tout ordre, la partie r\303\251guli\303\250re du d\303\251veloppement de y'' est bien la d\303\251riv\303\251e seconde de la partie r\303\251guli\303\250re du d\303\251veloppement de y. On obtient en \303\251crivant l'\303\251quation diff\303\251rentielle sur les d\303\251veloppements et en r\303\251indexant de sorte \303\240 n'avoir que des termes en x^n : u(n)+lambda^2*u(n+2)+(n^2+7*n+12)*u(n+4) o\303\271 le d\303\251veloppement de y est u(0)+u(1)*x+...+u(n)*x^n.coefficient:=proc(n,lambda)
option remember:
if n=0 then
return(1):
elif n=1 then
return(0):
elif n=2 then
return(lambda^2/2):
elif n=3 then
return(0):
else
return(-(coefficient(n-4,lambda)+lambda^2*coefficient(n-2,lambda))/(n^2+7*n+12)):
end if:
end;seq(coefficient(i,1),i=0..7);evalf(coefficient(100,1),10);#Exercice 7 :newton:=proc(phi,n)
local yk,dphi,i:
yk:=0:
dphi:=diff(phi,y):
for i from 1 to n do
yk:=convert(yk,polynom):
yk:=series(yk-eval(phi/dphi,y=yk),x=0,2^i):
end do:
return yk:
end;newton((1-x)*y-1,4);newton((1+y)^2-(1+x),6)-series(sqrt(1+x)-1,x=0,2^6);#On v\303\251rifie ais\303\251ment que ces deux phi v\303\251rifient les hypoth\303\250ses du th\303\251or\303\250me :eval(diff((1-x)*y-1,y),[x=0,y=0]);eval(diff((1+y)^2-(1+x),y),[x=0,y=0]);f:=x^2+tan(x);eval(diff(eval(f,x=y)-x,y),[x=0,y=0]);series(newton(eval(f,x=y)-x,3)-devh,x=0,7);#Preuve du th\303\251or\303\250me dans un autre fichier.LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=