Les harmoniques sphériques sont les solutions des équations du type Δf = λf sur la sphère. Ces fonctions jouent un rôle très important dans de nombreuses situations. Dans le cadre de l'étude de l'équation de la chaleur, elles donnent un analogue «non-abélien» de la transformée de Fourier. Le spectre du laplacien est aussi un outil important des mathématiques «pures», par exemple, pour l'analogue en géométrie différentielle du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch (travaux de Bismut, Lebeau...).
En me référant à l'exemple de l'équation de Schrödinger, j'expliquerai, après avoir soigneusement omis un certain nombre de détails techniques, comment de petits calculs «algébriques» permettent d'étudier qualitativement les espaces de solutions de Δf = λf, et donnerai quelques descriptions plus ou moins explicites des harmoniques sphériques, ainsi que des liens avec différents domaines, comme la théorie des représentations.
laplacien, sphère, spectre, géométrie, groupe, algèbre de Lie, représentation.