J'ai soutenu ma thèse le 24 juin 2013 devant le jury composé de Hakan Eliasson (examinateur), François Golse (président), Sandro Graffi (rapporteur), Nicolas Lerner (examinateur), Thierry Paul (directeur) et de Laure Saint-Raymond (examinatrice). Benoît Grébert était également rapporteur sur cette thèse.
Dans cette thèse, nous considérons le
problème inverse suivant : supposons que H est un opérateur
pseudodifférentiel elliptique (a priori inconnu) sur une variété X. De
quelles données spectrales avons-nous besoin pour retrouver son symbole
"total", autrement dit H microlocalement au voisinage infinitésimal d'un
ensemble (supposé connu) invariant par la dynamique classique engendrée par
son symbole principal ?
Dans le cas où cet ensemble est une trajectoire périodique elliptique
non-dégénérée gamma, nous montrons que le développement de Taylor du
symbole total du hamiltonien quantique dans un système de coordonnées locales
autour de gamma peut être reconstruit à partir des contributions de gamma
à la formule des traces de Gutzwiller associée à une certaine famille
d'observables localisées au voisinage de gamma. Nous donnons également des
résultats analogues dans le cas où l'ensemble invariant est un minimum
non-dégénéré du symbole principal de H. Nous nous intéressons finalement
au cas particulier du précédent où il est su a priori que le hamiltonien est
un opérateur de Schrödinger, et à des analogues classiques de nos
résultats.