\def\NomChapitre{Semaine du lundi 7 au jeudi 10 novembre}
\def\Type{Programme de colle 8}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Énoncés des théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe
  somme (les {\em deux}). 
\item Pour tout $(f,g) \in \cL(E)^2$ qui commutent, $g(\ker f) \subset \ker f$
  et $g(\im f) \subset \im f$.
\item Pour tout $(u,v) \in \cL(E)^2$,
 $\qquad \ker (v \circ u) = \ker u \Longleftrightarrow \ker v \cap\im u = \{0
\} $
% \item Centre de $\cL(E)$ : Les endomorphismes $f$ qui commutent à tout
%   endomorphisme sont les homothéties. 
\item et les questions de cours de la semaine précédente.
\end{qc}

\section{Intégration}
\subsection{Intégrales sur un intervalle quelconque}
\subsubsection{Intégrales à paramètre}

Ensemble de définition, théorème de continuité sous le signe somme, théorème
de Leibniz de dérivation sous le signe somme.

\section{Généralités sur les espaces vectoriels}
\subsection{Structure algébrique}
{\bf Caractérisation d'un sous-espace vectoriel, d'un morphisme d'espace
vectoriel}. 

Caractérisation de $\Vect(x_1, \dots, x_k)$ à l'aide des combinaisons linéaires.

Sommes et sommes directes finies de sous-espaces vectoriels. Projecteurs et
symétries. 

\subsection{Familles et bases}
Définition des familles libres, familles liées, famille
génératrices, bases.

Base canonique de $\K[X ]$. Toute famille de polynômes
non nuls échelonnée en degré est libre.

Théorème de la base incomplète. 

Morphismes et bases : si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$, alors $u:E\to
E'$ est entièrement déterminé par la famille $(u(e_i)_{i\in I})$. 
Caractérisation des injections, surjections et bijections. 

\subsection{Dimension finie}

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. 
Caractérisation d'une base.

Base adaptée à une décomposition en somme directe. Caractérisation
  de $F=F_1\oplus F_2$.

Rang d'une famille de vecteurs.

Hyperplans et systèmes.

{\bf \fbox{Théorème du rang}}.


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