\def\NomChapitre{Semaine du lundi 17 octobre au vendredi 4 novembre}
\def\Type{Programme de colle 7}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Nature de la série $\sum \frac1{n(\ln n)^\beta}$ en
  fonction de $\beta \in \R$.
\item Soit $\alpha \in ]0,1[$. Nature de la série $\sum \frac1{k^\alpha}$ 
et équivalent des sommes partielles (exercice 25.1).
\item Convergence de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t \dt$. 
\item Énoncés des théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe
  somme (les {\em deux}). 
\end{qc}

L'étude classique de la convergence (exercices 18 ou 21, par exemple les deux
derniers cas de l'exercice 18) doit etre bien maîtrisée, tant la démarche que
la rédaction, même si elle n'apparaît pas sous forme de question de cours : on
étudie $|f|$ à l'aide de $\leq$, $o$ ou $\sim$, on en déduit que $f$ est
intégrable, donc que $\int_a^b f(t)\dt $ converge.

\section{Intégration}
\subsection{Intégrales sur un intervalle quelconque}
%\subsection{Introduction}
\subsubsection{Intégrales généralisées}
Définition d'une intégrale convergente, d'une intégrale divergente.

Cas d'une fonction prolongeable par continuité.

Théorèmes de changement de variable, IPP.
\subsubsection{Le cas des fonctions positives}
\subsubsubsection{Fonctions usuelles}
Au voisinage de $+\infty$ (Riemann et exponentielles), 
au voisinage de $0$ (Riemann, $\ln (x)$). 

{\bf Ces fonctions doivent être parfaitement connues} 

\subsubsubsection{Relations de comparaison} 
Majoration, grand $O$, petit $o$, équivalents.

%Comparaison des primitives dans le cas
%divergent, des restes dans le cas convergent.

Comparaison séries / intégrales. Calcul approché, majoration et recherche
d'équivalents des sommes partielles d'une série divergente ou des restes d'une
série convergente.

\subsubsection{Intégrabilité et fonctions intégrables}
Définition de l'{\em intégrabilité} et des fonctions {\em intégrables}. 
L'intégrabilité entraîne la convergence.

Si $f: I \to \R$ est continue , alors $\int_{I} |f| = 0
\Longrightarrow f=0$.  

\subsubsection{Intégrales à paramètre}
Ensemble de définition, théorème de continuité sous le signe somme, théorème
de Leibniz de dérivation sous le signe somme. 

%%% Local Variables:
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%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg7
%%% End:
