\def\NomChapitre{Semaine du lundi 10 au vendredi 14 octobre}
\def\Type{Programme de colle 6}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Nature des intégrales {\tiny(preuve)}:
 $\int_1^{+ \infty} \frac{\dt}{t^\alpha}$, où $\alpha \in \R$;
 $\int_0^{+ \infty} e^{-\beta t} \dt$ où $\beta \in \R$;
 $\int_0^1 \frac{\dt}{t^\alpha}$, où $\alpha \in \R$;
 $\int_0^{1} \ln t \dt$ 
\item Nature de la série $\sum \frac1{n(\ln n)^\beta}$ en
  fonction de $\beta \in \R$.
\item Soit $\alpha \in ]0,1[$. Nature de la série $\sum \frac1{k^\alpha}$ 
et équivalent des sommes partielles (exercice 25.1).
\item Convergence de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t \dt$. 
\end{qc}

L'étude classique de la convergence (exercices 18 ou 21, par exemple les deux
derniers cas de l'exercice 18) doit etre bien maîtrisée, tant la démarche que
la rédaction, même si elle n'apparaît pas sous forme de question de cours : on
étudie $|f|$ à l'aide de $\leq$, $o$ ou $\sim$, on en déduit que $f$ est
intégrable, donc que $\int_a^b f(t)\dt $ converge.


\section{Intégration}
\subsection{Intégration sur un segment}
Chasles, linéarité, croissance, inégalité triangulaire, inégalité de la moyenne.

%($\left|\int_{[a,b]}fg\right| \leq \sup_{[a,b]} |f| \int_{[a,b]} |g|$).
\subsection{Calculs des primitives}
\subsubsection{Définition et propriétés}
Primitive d'une fonction continue.

Intégration par parties, changement de variables, fonctions de la forme 
$x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \dt$. 

\subsubsection{Calculs}
Primitives des fonctions usuelles.
Méthodes pour affronter différents cas:
\begin{itemiz}
\item Fractions rationnelles $\frac1{ax^2+bx+c}$.
\item Polynôme fois exponentielle et assimilés.
\end{itemiz}
\subsection{Intégrales sur un intervalle quelconque}
%\subsection{Introduction}
\subsubsection{Intégrales généralisées}
Définition d'une intégrale convergente, d'une intégrale divergente.

Cas d'une fonction prolongeable par continuité.

Théorèmes de changement de variable, IPP.
\subsubsection{Le cas des fonctions positives}
\subsubsubsection{Fonctions usuelles}
Au voisinage de $+\infty$ (Riemann et exponentielles), 
au voisinage de $0$ (Riemann, $\ln (x)$). 

{\bf Ces fonctions doivent être parfaitement connues} 

\subsubsubsection{Relations de comparaison} 
Majoration, grand $O$, petit $o$, équivalents.

%Comparaison des primitives dans le cas
%divergent, des restes dans le cas convergent.

Comparaison séries / intégrales. Calcul approché, majoration et recherche
d'équivalents des sommes partielles d'une série divergente ou des restes d'une
série convergente.

\subsubsection{Intégrabilité et fonctions intégrables}
Définition de l'{\em intégrabilité} et des fonctions {\em intégrables}. 
L'intégrabilité entraîne la convergence.

Si $f: I \to \R$ est continue , alors $\int_{I} |f| = 0
\Longrightarrow f=0$.  

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%%% End:
