\def\NomChapitre{Semaine du lundi 3 au vendredi 7 octobre}
\def\Type{Programme de colle 5}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}


\begin{qc}
\item Limite en $0^+$ de $x \mapsto \frac{x^{(x^x)}\ln x}{x^x-1}$.
\item Variations, limite et équivalent de la suite $u_n = \int_0^{\frac\pi 4}
  \tan^n t \dt$. 
\item Nature des intégrales {\tiny(preuve)} :
 $\int_1^{+ \infty} \frac{\dt}{t^\alpha}$, où $\alpha \in \R$;
 $\int_0^{+ \infty} e^{-\beta t} \dt$ où $\beta \in \R$;
 $\int_0^1 \frac{\dt}{t^\alpha}$, où $\alpha \in \R$;
 $\int_0^{1} \ln t \dt$ 
\end{qc}

Toute défaillance sur un DL usuel au cours de la colle entraînera une note en
dessous de 5. 

\section{Fonctions d'une variable réelle}
\subsection{Relations de comparaisons, Taylor, Développements limités}
Révisions de PTSI : Taylor reste intégral, Taylor Young.
Grand $O$, petit $o$, équivalents. 

Calculs de DL; utilisation de la parité; intégration d'un DL; exemple de
fonction admettant un DL à un ordre supérieur à $1$, 
sans être plus que dérivable; 

Les DL des fonctions hyperboliques $\sh$, $\ch$, et de $\arcsin$ doivent
pouvoir être retrouvés rapidement.

\section{Intégration}
\subsection{Intégration sur un segment}
Chasles, linéarité, croissance, inégalité triangulaire, inégalité de la moyenne.

Si $f: [a,b] \to \R$ est continue , alors $\int_{[a,b]} |f| = 0
\Longrightarrow f=0$.  
%($\left|\int_{[a,b]}fg\right| \leq \sup_{[a,b]} |f| \int_{[a,b]} |g|$).
\subsection{Calculs des primitives}
\subsubsection{Définition et propriétés}
Primitive d'une fonction continue.

Intégration par parties, changement de variables, fonctions de la forme 
$x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \dt$. 

\subsubsection{Calculs}
Primitives des fonctions usuelles.
Méthodes pour affronter différents cas:
\begin{itemiz}
\item Fractions rationnelles $\frac1{ax^2+bx+c}$.
\item Polynôme fois exponentielle et assimilés.
\end{itemiz}

\subsection{Intégrales sur un intervalle quelconque}
%\subsection{Introduction}
\subsubsection{Intégrale convergente}
Définition d'une intégrale convergente, d'une intégrale divergente.

Cas d'une fonction prolongeable par continuité.

Théorèmes de changement de variable, IPP.
\subsubsection{Le cas des fonctions positives}
\subsubsection{Fonctions usuelles}
Au voisinage de $+\infty$ (Riemann et exponentielles), 
au voisinage de $0$ (Riemann, $\ln (x)$). 

{\bf Ces fonctions doivent être parfaitement connues} 

\subsubsection{Relations de comparaison} 
Majoration, grand $O$, petit $o$, équivalents.

%Comparaison des primitives dans le cas
%divergent, des restes dans le cas convergent.

Comparaison séries / intégrales. Calcul approché, majoration et recherche
d'équivalents des sommes partielles d'une série divergente ou des restes d'une
série convergente.

\subsubsection{Intégrabilité et fonctions intégrables}
Définition de l'{\em intégrabilité} et des fonctions {\em intégrables}. 
L'intégrabilité entraîne la convergence.

Si $f: I \to \R$ est continue , alors $\int_{I} |f| = 0
\Longrightarrow f=0$.  


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%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg5
%%% End:
