\def\NomChapitre{Semaine du lundi 26 au vendredi 30 septembre}
\def\Type{Programme de colle 4}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Nature de la série de Bertrand $\sum \frac1{n^\alpha(\ln n)^\beta}$
  selon $\alpha, \beta \in \R$, pour $\alpha \neq 1$.
\item Soit $I$ est un intervalle de $\R$ et $f:I \to \R$ continue telle que
  $\forall x \in I$, $f(x)^2=1$. Montrer que $f=1$ ou $f=-1$.
\item Les dix DL usuels : famille exponentielle ($\exp$, $\cos$, $\sin$),
  géométrique ($\frac1{1-x}$, $\frac1{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\ln(1-x)$,
  $\arctan(x)$), $(1+x)^\alpha$ avec $\alpha\in\R$ à l'ordre $n$; $\tan(x)$ à l'ordre $3$.
\item Limite en $0^+$ de $x \mapsto \frac{x^{(x^x)}\ln x}{x^x-1}$.
\item Variations, limite et équivalent de la suite $u_n = \int_0^{\frac\pi 4}
  \tan^n t \dt$. 
\end{qc}

Toute défaillance sur un DL usuel au cours de la colle entraînera une note en
dessous de 5. 
\section{$\R$ et les suites réelles}
\subsection{Séries numériques}
Révisions de PTSI : définition de la convergence, de la convergence absolue.

Séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$, $\alpha \in \R$.
Comparaison de séries à termes positifs : $\leq$, grand $O$, petit $o$, équivalent.

\section{Fonctions d'une variable réelle}
\subsection{Continuité}
Définition; propriétés.

\og $f$ continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes \fg.

Théorème des valeurs intermédiaires; théorème de la bijection.
\subsection{Dérivabilité}
Définition; propriétés; théorème de Rolle et ses
conséquences : égalité et inégalité des accroissements finis.
Théorème de la limite de la dérivée.

\subsection{Relations de comparaisons, Taylor, Développements limités}
Révisions de PTSI : Taylor reste intégral, Taylor Young.
Grand $O$, petit $o$, équivalents. 

Calculs de DL; utilisation de la parité; intégration d'un DL; exemple de
fonction admettant un DL à un ordre supérieur à $1$, 
sans être plus que dérivable; 

Les DL des fonctions hyperboliques $\sh$, $\ch$, et de $\arcsin$ doivent
pouvoir être retrouvés rapidement.

\section{Intégration}
\subsection{Intégration sur un segment}
Chasles, linéarité, croissance, inégalité triangulaire, inégalité de la moyenne.

Si $f: [a,b] \to \R$ est continue , alors $\int_{[a,b]} |f| = 0
\Longrightarrow f=0$.  
%($\left|\int_{[a,b]}fg\right| \leq \sup_{[a,b]} |f| \int_{[a,b]} |g|$).
\subsection{Calculs des primitives}
\subsubsection{Définition et propriétés}
Primitive d'une fonction continue.

Intégration par parties, changement de variables, fonctions de la forme 
$x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \dt$. 

\subsubsection{Calculs}
Primitives des fonctions usuelles.
Méthodes pour affronter différents cas:
\begin{itemiz}
\item Fractions rationnelles $\frac1{ax^2+bx+c}$.
\item Polynôme fois exponentielle et assimilés.
\end{itemiz}

%%% Local Variables:
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%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg4
%%% End:
