\def\NomChapitre{Semaine du lundi 19 au vendredi 23 septembre}
\def\Type{Programme de colle 3}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Limite de la suite $u_n=\left(1+\frac x n\right)^n$, avec $x\in
  \R$;  équivalent de
  $e-\left(1+\frac 1 n \right)^n$.
\item Nature de la série de Bertrand $\sum \frac1{n^\alpha(\ln n)^\beta}$
  selon $\alpha, \beta \in \R$, pour $\alpha \neq 1$.
% \item La fonction $f: \R \to \R$ définie par $f(x) =
%   \exp\left(-\frac1{x^2}\right)$ si $x>0$ et $f(x) = 0$ si $x \leq 0$ est
%   $\cC^\infty$ sur $\R$. 
\item Soit $I$ est un intervalle de $\R$ et $f:I \to \R$ continue telle que
  $\forall x \in I$, $f(x)^2=1$. Montrer que $f=1$ ou $f=-1$.
\item Les dix DL usuels : famille exponentielle ($\exp$, $\cos$, $\sin$),
  géométrique ($\frac1{1-x}$, $\frac1{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\ln(1-x)$,
  $\arctan(x)$), $(1+x)^\alpha$ avec $\alpha\in\R$ à l'ordre $n$; $\tan(x)$ à l'ordre $3$.
\end{qc}

Toute défaillance sur un DL usuel au cours de la colle entraînera une note en
dessous de 5. 

\section{$\R$ et les suites réelles}
\subsection{Situations classiques}
\begin{itemiz}
\item {\bf Suite et série géométrique} : limites, expression de $\sum_{k=0}^n
  q^k$. 
\item Suites monotones bornées.
\item Sommes de Riemann.
\item Suites récurrentes linéaires.
\end{itemiz}
Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$, en particulier le cas $f$ monotone ou $f$
contractante ($\sup_I |f'|<1$).

\subsection{Relations de comparaison}

Grand O, petit o, équivalents.

\subsection{Séries numériques}
Révisions de PTSI : définition de la convergence, de la convergence absolue.

Séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$, $\alpha \in \R$.
Comparaison de séries à termes positifs : $\leq$, grand $O$, petit $o$, équivalent.
%Comparaison de séries à termes positifs : $\leq$, $O$, $o$, $\sim$.



\section{Fonctions d'une variable réelle}
\subsection{Continuité}
Définition; propriétés; caractérisation séquentielle.

\og $f$ continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes \fg.

Théorème des valeurs intermédiaires; théorème de la bijection.
\subsection{Dérivabilité}
Définition; propriétés; théorème de Rolle et ses
conséquences : égalité et inégalité des accroissements finis.
Théorème de la limite de la dérivée.

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg3
%%% End:
