\def\NomChapitre{Semaine du lundi 27 au vendredi 31 mars}
\def\Type{Programme de colle 23}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item La loi de Poisson, définie sur les $\{k\}$ et étendue à $\cP(\N)$ par
$\forall A\in \cA$ $P(A) = \sum_{k\in A} P(\{k\})$, définit une probabilité
sur $(\N,\cP(\N))$.
\item Formule des probabilités totales, avec preuve.
\item (loi conditionnelle) Une grenouille pond $X$
 oeufs selon une loi de
  poisson de paramètre $\lambda \in \R_+$, chaque oeuf éclot de façon
  indépendante selon une loi de Bernoulli $\cB(p)$. Loi du nombre $Y$ 
d'oeufs
  éclot.
\item (loi de couple) On effectue une suite de lancers indépendants avec une
  pièce non équilibrée (probabilité $p\in ]0,1[$ d'avoir pile). Donner la loi
  de la longueur $X$ de la première chaîne, et $Y$ de la deuxième chaîne.
% \item Si $X$ est une \vad{} réelle, $V(X)=0$ entraîne $X$ constante presque
%   sûrement (preuve : y compris le lemme).
\item Séries génératrice d'une \vad{} suivant une loi de géométrique, d'une
  \vad{} suivant une loi Poisson. Avec preuve.
\end{qc}

\section{Probabilités}
\subsection{Ensembles, cardinaux, tribus}
Lien entre propositions et ensembles associés (et, ou, non, $\forall$,
$\exists$). 
Définition d'un ensemble dénombrable, $\Z$ est dénombrable, un produit
cartésien d'ensemble dénombrable est dénombrable.
Tribus.

\subsection{Probabilités}
\subsubsection{Généralités}
Probabilité sur $(\Omega, \cA)$. 
Vocabulaire : 
 univers, 
 événement, 
 événements incompatibles, 
 système complet d'événements; 
 événement presque sûr, 
 événement négligeable.
Croissance, 
$P(A\cup B)$, 
continuité croissante et décroissante,
sous-additivité.

Lois géométrique et de Poisson sur $\N$.
\subsubsection{Probabilités conditionnelles, indépendance}

Définition. 
Formule des probabilités composées, 
formule des probabilités totales, 
formule de Bayes.

Indépendance de deux événements, indépendance mutuelle.

\subsection{\Vads{}}
\subsubsection{Généralités}

Définition, 
loi d'une \vad{},
égalité en loi,
image par un application.

Fonction de répartition.

\subsubsection{Couples de \vads{}, indépendance}

Définition, 
loi conjointe,
loi marginale.
Indépendance de deux \vads{},
indépendance mutuelle d'une famille de \vads{}.

\subsubsection{Moments : espérance, variance}

\Vad{} d'espérance finie. 
Théorème du transfert.
Linéarité, positivité, croissance de l'espérance (sous réserve d'existence).
Espérance d'un produit de \vads{} indépendantes.

Variance, propriétés.

Inégalités de Markov, de Bienaymé-Tchebychev.
\subsubsection{Couple : covariance}
Covariance, coefficient de corrélation.
Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Variance d’une somme de deux variables aléatoires ; cas
de variables indépendantes.
\subsubsection{Séries génératrices}
Le rayon de convergence est au moins égal à $1$.

Liens entre série génératrice et espérance, variance, et loi de la variable
aléatoire. 

Série génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes.
\subsection{Lois usuelles}
Lois uniforme, de Bernoulli $\cB(p)$, binomiale $\cB(n,p)$, géométrique $\cG(p)$
et de Poisson $\cP(\lambda)$. 

Espérance, variance et série génératrice dans chacun des cas.

La loi géométrique est la loi sans mémoire. 

Loi faible des grands nombres.

%%% Local Variables:
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%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg23
%%% End:
