\def\NomChapitre{Semaine du lundi 20 au vendredi 24 mars}
\def\Type{Programme de colle 22}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item \'Equation paramétrique du conoïde $\Sigma$ : 
Soit $\cC$ le cercle de centre $A(0,1,1)$ et de rayon $1$ contenu dans
  le plan $y=1$. La surface $\Sigma$ est l'union des droites passant par un
  point de $\cC$ et son projeté sur $(Oz)$.
\item \'Equation paramétrique d'une surface réglée donnée par ses
  génératrices, d'une surface de révolution autour de l'axe $(Oz)$  (énoncés).
\'Equation cartésienne d'une surface de révolution (théorème sur la condition
d'élimination).
\item La loi de Poisson, définie sur les $\{k\}$ et étendue à $\cP(\N)$ par
$\forall A\in \cA$ $P(A) = \sum_{k\in A} P(\{k\})$, définit une probabilité
sur $(\N,\cP(\N))$.
\item Formule des probabilités totales, avec preuve.
\item (loi conditionnelle) Une grenouille pond $X$
 oeufs selon une loi de
  poisson de param\`etre $\lambda \in \R_+$, chaque oeuf \'eclot de façon
  ind\'ependante selon une loi de Bernoulli $\cB(p)$. Loi du nombre $Y$
d'oeufs éclot.                   
\item (loi de couple) On effectue une suite de lancers ind\'ependants avec une
  pi\`ece non \'equilibr\'ee (probabilit\'e $p\in ]0,1[$ d'avoir pile). Donner
  la loi
  de la longueur $X$ de la premi\`ere cha\^ine, et $Y$ de la deuxi\`eme
  cha\^ine.

\end{qc}


\section{Surfaces}
\subsection{Généralités}
\subsubsection{Définitions}
Définition d'une surface à l'aide d'une équation paramétrique ou cartésienne.
Recherche d'équation cartésienne.
Courbe tracée sur une surface.

Définition et équation du plan tangent dans les cas paramétrique et
cartésien. Droite tangente à une courbe tracée sur une surface.

\subsubsection{Courbes comme intersection de deux surfaces}
Condition suffisante d'existence, tangente. 

\subsection{Surfaces usuelles}
\subsubsection{Surfaces d'équation $z=g(x,y)$}
Plan tangent. Si $g$ est de classe $\cC^2$, position par rapport au plan
tangent en un point critique. 

\subsubsection{Surfaces réglées}

Définition géométrique, équation paramétrique. Le plan tangent en un point
contient les génératrices passant par ce point.

\subsubsection{Surfaces de révolution}
Définition géométrique, équations paramétrique et cartésienne d'une surface de
révolution.
Méridienne, parallèle.
Savoir reconnaître une surface (donnée par son équation cartésienne) de
révolution lorsque l'axe de révolution est un axe de coordonnées.

\section{Probabilités}
\subsection{Ensembles, cardinaux, tribus}
Lien entre propositions et ensembles associés (et, ou, non, $\forall$,
$\exists$). 
Définition d'un ensemble dénombrable, $\Z$ est dénombrable, un produit
cartésien d'ensemble dénombrable est dénombrable.
Tribus.

\subsection{Probabilités}
\subsubsection{Généralités}
Probabilité sur $(\Omega, \cA)$. 
Vocabulaire : 
 univers, 
 événement, 
 événements incompatibles, 
 système complet d'événements; 
 événement presque sûr, 
 événement négligeable.
Croissance, 
$P(A\cup B)$, 
continuité croissante et décroissante,
sous-additivité.

Lois géométrique et de Poisson sur $\N$.
\subsubsection{Probabilités conditionnelles, indépendance}

Définition. 
Formule des probabilités composées, 
formule des probabilités totales, 
formule de Bayes.

Indépendance de deux événements, indépendance mutuelle.

\subsection{\Vads{}}
\subsubsection{Généralités}

Définition, 
loi d'une \vad{},
égalité en loi,
image par un application.

Fonction de répartition.

\subsubsection{Couples de \vads{}, indépendance}

Définition, 
loi conjointe,
loi marginale.
Indépendance de deux \vads{},
indépendance mutuelle d'une famille de \vads{}.


% instructions colleurs : 
% pas beaucoup de matos en proba cette semaine (pas de v.a., pas d'espérance).
% les tribus : que du très élémentaires, ce n'est pas un but en soi
% petites questions : passer du vocabulaire logique (\forall, ou, ...) au
% vocabulaire ensembliste (\bigcap, \cup, ...).
% sinon sera encore au programme dans 15 jours.

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