\def\NomChapitre{Semaine du lundi 13 au vendredi 17 mars}
\def\Type{Programme de colle 21}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item L'application $(x,y)\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2}$ n'a pas de limite en
  $(0,0)$. 
L'application $(x,y)\mapsto \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ et $(0,0)\mapsto 0$ est
continue en $(0,0)$.
\item Points réguliers de $x(x^2+y^2)-x^2+y^2=0$. Équation de la tangente 
en $\Big(\frac 12,\frac 1{2\sqrt 3}\Big)$.
\item Plan tangent en un point régulier d'une nappe paramétrée $(u,v) \mapsto \vect F(u,v)$, d'une surface d'équation cartésienne $f(x,y,z)=0$.
Vecteur tangent à une courbe définie par deux équations cartésiennes (énoncés).
\item \'Equation paramétrique du conoïde $\Sigma$ : 
Soit $\cC$ le cercle de centre $A(0,1,1)$ et de rayon $1$ contenu dans
  le plan $y=1$. La surface $\Sigma$ est l'union des droites passant par un
  point de $\cC$ et son projeté sur $(Oz)$.
\item \'Equation paramétrique d'une surface réglée donnée par ses
  génératrices, d'une surface de révolution autour de l'axe $(Oz)$  (énoncés).
\'Equation cartésienne d'une surface de révolution (théorème sur la condition
d'élimination).
\end{qc}

\section{Fonctions de plusieurs variables}
\subsection{Limite et continuité}

Limite en un point adhérent.

Fonctions continues de $\R^p$ dans $\R^m$, opérations algébriques,
composition. L'image d'un fermé borné par une application continue est
fermé borné (cas des fonctions à valeurs dans $\R$ : bornée et atteint ses bornes).

\subsection{Calcul différentiel}

Dérivées partielles, applications $\cC^1$, formule de Taylor à l'ordre $1$. Cas des fonctions à valeurs dans $\R$ : Gradient ($\nabla$).

Formule de composition, applications aux EDP.

Dérivées partielles d'ordre supérieur, théorème de Schwarz. EDP d'ordre $2$, avec changement de variable (donné).

Fonctions de $\Omega \subset \R^2$ ouvert dans $\R$ : formule de Taylor-Young à
l'ordre $2$. 
Étude des extrema locaux : points critiques, hessienne, nature lorsque la
hessienne est inversible via l'étude des valeurs propres.

\subsection{Courbes du plan définies par une équation cartésienne}

Point régulier, équation de la tangente en un point régulier. Cas des lignes de niveau $f(x,y)=\lambda$.

\section{Surfaces}
\subsection{Généralités}
\subsubsection{Définitions}
Définition d'une surface à l'aide d'une équation paramétrique ou cartésienne.
Recherche d'équation cartésienne.
Courbe tracée sur une surface.

Définition et équation du plan tangent dans les cas paramétrique et
cartésien. Droite tangente à une courbe tracée sur une surface.

\subsubsection{Courbes comme intersection de deux surfaces}
Condition suffisante d'existence, tangente. 

\subsection{Surfaces usuelles}
\subsubsection{Surfaces d'équation $z=g(x,y)$}
Plan tangent. Si $g$ est de classe $\cC^2$, position par rapport au plan tangent en un point critique.

\subsubsection{Surfaces réglées}

Définition géométrique, équation paramétrique. Le plan tangent en un point
contient les génératrices passant par ce point.

\subsubsection{Surfaces de révolution}
Définition géométrique, équations paramétrique et cartésienne d'une surface de
révolution.
Méridienne, parallèle.
Savoir reconnaître une surface (donnée par son équation cartésienne) de
révolution lorsque l'axe de révolution est un axe de coordonnées.



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