\def\NomChapitre{Semaine du lundi 6 au vendredi 10 mars}
\def\Type{Programme de colle 20}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
\item Rayon de convergence de la somme de deux séries entières, avec preuve.
\item L'application $(x,y)\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2}$ n'a pas de limite en
  $(0,0)$. 
L'application $(x,y)\mapsto \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ et $(0,0)\mapsto 0$ est
continue en $(0,0)$.
\item Points réguliers de $x(x^2+y^2)-x^2+y^2=0$. Équation de la tangente 
en $\Big(\frac 12,\frac 1{2\sqrt 3}\Big)$.
\item Plan tangent en un point régulier d'une nappe paramétrée $(u,v) \mapsto \vect F(u,v)$, d'une surface d'équation cartésienne $f(x,y,z)=0$.
Vecteur tangent à une courbe définie par deux équations cartésiennes (énoncés).
\end{qc}


\section{Fonctions de plusieurs variables}
\subsection{Limite et continuité}

Limite en un point adhérent.

Fonctions continues de $\R^p$ dans $\R^m$, opérations algébriques,
composition. L'image d'un fermé borné par une application continue est
fermé borné (cas des fonctions à valeurs dans $\R$ : bornée et atteint ses bornes).

\subsection{Calcul différentiel}

Dérivées partielles, applications $\cC^1$, formule de Taylor à l'ordre $1$. 
Formule de composition, applications aux EDP.
Cas des fonctions à valeurs dans $\R$ : Gradient ($\nabla$).

Dérivées partielles d'ordre supérieur, théorème de Schwarz. EDP d'ordre $2$, avec changement de variable (donné).

Fonctions de $\Omega \subset \R^2$ ouvert dans $\R$ : formule de Taylor-Young à
l'ordre $2$. 
Étude des extrema locaux : points critiques, hessienne, nature lorsque la
hessienne est inversible via l'étude des valeurs propres.

\subsection{Courbes du plan définies par une équation cartésienne}

Point régulier, équation de la tangente en un point régulier. Cas des lignes de niveau $f(x,y)=\lambda$.

\section{Surfaces}
\subsection{Généralités}
\subsubsection{Définitions}
Définition d'une surface à l'aide d'une équation paramétrique ou cartésienne.
Recherche d'équation cartésienne.
Courbe tracée sur une surface.

Définition et équation du plan tangent dans les cas paramétrique et
cartésien. Droite tangente à une courbe tracée sur une surface.

\subsubsection{Courbes comme intersection de deux surfaces}
Condition suffisante d'existence, tangente. 



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