\def\NomChapitre{Semaine du lundi 12 au vendredi 16 septembre}
\def\Type{Programme de colle 2}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}



\begin{qc}

\item Expression de $\sum_{k=0}^n \cos(kx)$ pour $x\in \R$ et $n\in \N$.
\item Soit $A$ un anneau. Montrer que, si $x\in A$ est nilpotent, $1-x$ est
inversible. 
\item Démonstration du théorème de Cesàro.
\item Limite de la suite $u_n=\left(1+\frac x n\right)^n$, avec $x\in \R$.
%Rajouter un équivalent pour avoir à faire le DL ? type e-(1+1/n)^n ?
\end{qc}

\section{Révisions de trigonométrie circulaire et hyperbolique}
\section{Combinatoire}
\begin{itemiz}
\item Soit $f : E \to F$. Si $\card E = \card F < \infty$, alors
 $ f\text{ bijective }
\iff f \text{ injective } \iff f \text{ surjective. }$
\item {\bf Formule du binôme}, $\binom{n}{k}$.
\item Manipulation du symbole Sigma : sommes telescopiques et changements
  d'indices. 
\end{itemiz}

\section{Groupes, anneaux, corps}
\begin{itemiz}
\item Caractérisation d'un sous-groupe et d'un sous-anneau, définion d'un
  corps.
\item Morphismes de groupes et d'anneaux.
\end{itemiz}

Pas d'exercices d'algèbre pure, mais des exercices faisant intervenir les
suites, les fonctions trigonométriques (pour définir la loi du groupe par
exemple), ou des groupes de matrices.

\section{$\R$ et les suites réelles}
\subsection{$\R$}
Inégalités triangulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz (dans $\R^n$). 

\subsection{Convergence d'une suite}
Définition de la convergence (avec des $\eps$).
\subsection{Situations classiques}
\begin{itemiz}
\item {\bf Suite et série géométrique} : limites, expression de $\sum_{k=0}^n
  q^k$. 
\item Suites monotones bornées.
\item Sommes de Riemann.
\item Suites récurrentes linéaires.
\end{itemiz}
Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$, en particulier le cas $f$ monotone ou $f$
contractante ($\sup_I |f'|<1$).


\subsection{Relations de comparaison}

Grand O, petit o, équivalents.

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