\def\NomChapitre{Semaine du lundi 13 au vendredi 17 février}
\def\Type{Programme de colle 19}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
% \item Plan d'étude d'une matrice $3\times 3$ orthogonale.
% \item Les \seps{} d'une matrice symétrique sont deux à deux orthogonaux (avec preuve)
\item Énoncé et preuve du lemme d'Abel.
\item Rayon de convergence de la somme de deux séries entières, avec preuve.
\item Rayon et somme de $\sum \frac{\ch(n)}n z^{2n}$.
\item Rayon 
de $\sum c_n z^n$, où $c_n$ est le nombre de chiffres de $n$ en base $10$.
\end{qc}

\section{Algèbre bilinéaire}
\subsection{Matrices symétriques}
\subsubsection{Réduction des matrices symétriques réelles}
Les \seps{} d'une matrice symétrique sont deux à deux orthogonaux.
Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

\subsection{Coniques}
Plan d'étude d'une conique donnée par une équation cartésienne. Catalogue des coniques. Paramétrage usuel, allure, branches infinies. Demi-axes.


\section{Séries numériques}

Révisions (PTSI et début d'année) :
Convergence absolue; théorèmes de comparaison ($\leq$, $o$, $\sim$); comparaison série / intégrale; développement décimal d'un nombre réel.

\subsection{Compléments}
Critère de D'Alembert. Produit de Cauchy.

\section{Séries entières}
\subsection{Variable complexe}
\subsubsection{Rayon de convergence}
Lemme d'Abel. 
Somme et produit de Cauchy de deux séries entières. 
Comparaison des coefficients ($\leq$, $\sim$).
\subsubsection{Séries géométrique et exponentielle}
Développement de $\frac1{1-z}$, exponentielle complexe.

\subsection{Variable réelle}
Continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme de la fonction
somme. Caractère $\cC^\infty$. Expression des coefficients.

Unicité du développement en série entière (application : résolution
d'équations différentielles). 
\subsection{Séries entières usuelles}
À connaître impérativement, et à savoir reconnaître, au voisinage de $0$ :
\[  e^x,
\quad \ch (x),
\quad \sh (x),
\quad \cos (x),
\quad \sin (x),
\quad \frac1{1-x}, 
\quad \frac1{1+x} ,
\quad \ln(1+x),\quad (1+x)^\alpha\]
avec $\alpha \in \R$.


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%%% mode: latex
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg19
%%% End:
