\def\NomChapitre{Semaine du lundi 6 au vendredi 10 février}
\def\Type{Programme de colle 18}
\LeTitre{\Type}{\NomChapitre}

\begin{qc}
% \item Un projecteur $p$ est un projecteur orthogonal \ssi{} 
% $\forall x \in E \; \norme{p(x)}\leq \norme{x}$ (avec preuve).
\item Si $u\in \cL(E)$, $u$ est une symétrie orthogonale \ssi{} $u$ est une
  symétrie et un endomorphisme orthogonal (avec preuve).
\item Plan d'étude d'une matrice $3\times 3$ orthogonale.
\item Les \seps{} d'une matrice symétrique sont deux à deux orthogonaux (avec preuve).
 \item Énoncé et preuve du lemme d'Abel.
 \item Rayon de convergence de la somme de deux séries entières, avec preuve.
 \item Rayon de $\sum \frac{\ch(n)}n z^{2n}$.
 \item Rayon 
 de $\sum c_n z^n$, où $c_n$ est le nombre de chiffres de $n$ en base $10$.
\end{qc}

\section{Algèbre bilinéaire}
% \subsection{Préhilbertiens}
% Définition d'un produit scalaire, norme associée, propriétés de la norme.

% Inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme et de polarisation.

% Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, famille orthogonale. Orthogonal d'un
% sous-espace. 

% Théorème de Pythagore.


% \subsection{Euclidiens}
% Existence de bases orthonormales ; méthode de Gram-Schmidt.

% Calculs dans une base orthonormale : produit scalaire, norme, matrice d'un
% endomorphisme.

% Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; sommes directes
% associées.

% Distance à un sous-espace de dimension finie.
% Inégalité de Bessel.

\subsection{Isométries}
Définition et valeurs propres d'une isométrie. 
Groupe $\cO(E)$. 
L'orthogonal d'un sous-espace stable est stable.
Une symétrie est un endomorphisme orthogonal \ssi{} c'est un endomorphisme
orthogonal. 

Définition et déterminant d'une matrice orthogonale. Groupes $\cO_n(\R)$ et
$SO_n(\R)$. 

Description dans le cas des dimensions $2$ et $3$, études pratiques. En
particulier détermination de l'axe et de l'angle d'une rotation de $\R^3$.
Orientation, bases directes et indirectes.
\subsection{Matrices symétriques}
\subsubsection{Réduction des matrices symétriques réelles}
Les \seps{} d'une matrice symétrique sont deux à deux orthogonaux.
Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

\subsection{Coniques}
Plan d'étude d'une conique donnée par une équation cartésienne. Catalogue des coniques. Paramétrage usuel, allure, branches infinies. Demi-axes.


 \section{Séries numériques}

 Révisions (PTSI et début d'année) :
 Convergence absolue; théorèmes de comparaison ($\leq$, $o$, $\sim$); comparaison série / intégrale; développement décimal d'un nombre réel.

 \subsection{Compléments}
 Critère de D'Alembert. Produit de Cauchy.

 \section{Séries entières}
 \subsection{Variable complexe}
 \subsubsection{Rayon de convergence}
 Lemme d'Abel. 
 Somme et produit de Cauchy de deux séries entières. 

 Comparaison des coefficients ($\leq$, $\sim$).
 \subsubsection{Séries géométrique et exponentielle}
 Développement de $\frac1{1-z}$, exponentielle complexe.

\subsection{Variable réelle}
Continuité, intégration terme à terme, dérivation terme à terme de la fonction
somme. Caractère $\cC^\infty$. Expression des coefficients.

Unicité du développement en série entière (application : résolution
d'équations différentielles).
\subsection{Séries entières usuelles}
À connaître impérativement, et à savoir reconnaître, au voisinage de $0$ :
\[  e^x,
\quad \ch (x),
\quad \sh (x),
\quad \cos (x),
\quad \sin (x),
\quad \frac1{1-x},
\quad \frac1{1+x} ,
\quad \ln(1+x),\quad (1+x)^\alpha\]
avec $\alpha \in \R$.




%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-PDF-mode: t
%%% TeX-master: FeuilleProg18
%%% End:
